Курс лекций математического анализа

Рассмотрим кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т.е. не обязательно дают разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).

Пусть - определена на AB. Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа .

Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим .

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. При условиях предыдущей теоремы .

Примечание 1.

1. Если кривая L задана явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид: .

2. Если L задана уравнением , то .

3. Если L - отрезок прямой , то для любой функции P, если L - отрезок прямой , то

для любой функции Q.

Примечание 2. Пусть - угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда . Поэтому .

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где - непрерывные на функции, а f - непрерывна на L, то .

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем .

Примечание 4. Говорят, что на области задано векторное поле , если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим - радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение) . Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.