Курс лекций математического анализа

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой .

Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть - длина кривой .

Диаметр d(T) определим как .

Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

Определение. Пусть . Если , то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так: .

Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B, а от B к A, то в разбиении T с выбранными точками изменилась бы только нумерация отрезков и точек , а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что .

В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.

Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект – криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.

Теорема. Пусть - непрерывная на кривой AB функция (т.е. - точек кривой таких, что расстояние между меньше ). Пусть кривая AB параметризована так: , где - непрерывные на функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда .

Теорему оставим без доказательства.

Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.

Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 остальных:

1. при условии, что существуют и .

2. Если AB, BC – кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то

Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т.е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.