Курс лекций математического анализа

Теорема (Фубини). Пусть непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , , а по бокам – отрезками вертикальных прямых и . Тогда .

Без доказательства.

Замечание. Если область можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где - непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что и - непрерывно дифференцируемые в функции.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области не равнялся 0.

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т.е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.