Курс лекций математического анализа

Скалярное и векторное поле.

Определение. Скалярное поле на области () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях C.

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное поле на области (или ) – это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезка определяется аналогично и для . Напоминаем: величина отрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. (- дифференцируемая функция)

Пример. Найдем , где - модуль радиус-вектора .

и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем - потоком вектора через поверхность в указанную сторону.

Этот термин совпадает со следующей гидродинамической задачей. Пусть - вектор скорости течения жидкости в момент . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности за момент времени . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием и высотой , т.е. этот объем равен .

Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.

Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

1. 
2. . Здесь - скалярное поле и символ

обозначает скалярное произведение этих векторов.

Понятие можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где - вышеупомянутый шар, а - внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность ): , где - близкая к точка. При и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат не фигурирует.

Если считать вектором скорости жидкости, то - это плотность источника.

Циркуляция. Ротор. Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

1. 
2. , где под

понимаем векторное произведение.

Вспомним теперь теорему Стокса: , где - непрерывно дифференцируемые функции, - кусочно гладкая поверхность, - ее край, причем направление обхода относительно выбраной стороны является положительным.

Получим определение без использования системы координат. Пусть - точка, - плоскость, в которой лежит окружность радиуса с центром в . Тогда по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка близка к . По теореме Стокса, или .

Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.