Курс лекций математического анализа

Теорема. Пусть - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано) и - кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции - непрерывно дифференцируемые. Тогда .

Замечание 1. Равносильная формулировка: .

Замечание 2.В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя .

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функцию есть и т.п.

Доказательство теоремы. Вычислим, например, . Пусть, для простоты, - уравнение . Тогда рассмотрим параметризацию проекции кривой на плоскость : (разумеется, - непрерывно дифференцируемые функции).

Тогда . К плоской кривой применим формулу Грина: , где - ограничиваемая кривой область плоскости . Вычислим . Итак, . Далее, , , и, значит, . Поэтому .

Аналогично, , и .

Формула Стокса доказана.

Векторная запись формулы Стокса. Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .