Курс лекций математического анализа

Если - дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на существует такая функция , что . В предположении непрерывности смешанных производных: или . Докажем, что если - односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если в односвязной области , то существует такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим переменную точку и любую кривую , соединяющую с .

По следствию теоремы 2, зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что - искомая функция, т.е. . Для этого рассмотрим точку и рассмотрим , где - отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке и . Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что , где . Тогда . . Для доказательство аналогичное.

Замечание. Если векторное поле обладает свойством в односвязной области , то говорят, что - потенциальное поле и найденная функция такая,, т.е. , называется потенциалом поля .

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если соединяет , то работа вдоль равна . Т.е. работа равна разности потенциалов.

Примечание. Условие односвязности существенно.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т.о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит . Рассмотрим - окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.