ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§8. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задачи для самостоятельной подготовки

 Решить уравнения:

а) 2y¢ = x + lny¢; д) e^-y(1 + y¢) = 1;

б) 2xy¢ - y =Siny¢; е) xy¢ = y(lny + lnx);

в) y¢² - yy¢ + e^x = 0; ж) (x² + y)dx – xdy = 0;

г) x²y¢² –2(xy - 2)y¢ + y² = 0; з) y = y¢(1 + y¢Cosy¢).

§9. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Определить вид кривой . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 1. Если дифференциальное уравнение имеет вид F(y, y¢, y¢¢,… …, y⁽ⁿ⁾) = 0, т.е. не содержит явно независимой переменной, то порядок уравнения можно понизить с помощью замены у¢ = р. Тогда р = р(у) будет новой искомой функцией, а у – новой независимой переменной. Порядок уравнения при этом понижается на единицу:

,

и т.д.

 2. Если дифференциальное уравнение не содержит у и нескольких последовательных производных, то понизить порядок уравнения можно с помощью замены у^(k) = u, где u – новая неизвестная функция.

 3. Если уравнение однородно относительно у и производных, то постановка у¢ = у^z, где z(x) – новая независимая функция, понижает порядок на единицу.

Задача 14.

 Решить уравнение yy¢¢ + y¢² = 0.

 Решение. В уравнении отсутствует х. После замены у¢ = р получим уравнение ур¢р + р² = 0 => yp¢ + p = 0. Отсюда и, следовательно, . Возвращаясь к у¢, получим  или ydy = C₁dx. Общее решение этого уравнения будет иметь вид y² = C₁x + C₂.

 Замечание. В процессе решения пришлось делить обе части уравнения на р и на у. При этом могло быть потеряно решение, соответствующее р = 0, т.е. у = С и решение у = 0. Этого не произошло только потому, что оба решения содержатся в общем решении: первое при С₁ = 0, второе – при С₁ = С1 = 0.

  [an error occurred while processing this directive]

Задача 15.

 Решить уравнение y¢¢² = y¢ + 1.

 Решение. В данном уравнении отсутствует у. Обозначим

z = y¢, тогда для функции z(x) получим уравнение z¢ = z + 1 с разделяющимися переменными

Отсюда получим

Решение имеет вид y(x) = (C₁ + x)³/12 – x + C₂.

Задачи для самостоятельной подготовки

 Решить уравнения:

а) y¢¢¢y¢² – y¢¢ = 0; г) xy¢¢ = y¢;

б) yy¢¢ – 2yy¢lny = y¢²; д);;

в) y¢¢¢ =  y¢¢²; е) yy¢¢ = y¢ + y¢².