ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§7. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

 а) Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде, не разрешённом относительно производной:

F(x, y, y¢) = 0 (*)

 Если уравнение (*) можно решить относительно производной, то его решение находится одним из вышеописанных способов. Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 В противном случае может быть использован метод введения параметра, который позволяет получить решение уравнения (*) в параметрическом виде. Но для этого необходимо, чтобы уравнение можно было разрешить относительно x или y.

 1. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно у, т.е. записать его в виде y = f(x, y¢). Будем считать y¢ параметром. Тогда

у¢ = р, y = f(x, p) и остаётся найти зависимость х от того же параметра р. С этой целью используется известное равенство dy = y¢dx, в которое вместо dy подставляем его выражение, учитывающее, что

y = f(x, p), т.е. dy = f_x¢dx + f_y¢dp, где вместо у¢ записываем р. Тогда получим уравнение

f_x¢dx + f_р¢dp = pdx

или

(f_x¢ - р)dx + f_р¢dp = 0,

из которого находим х = х(р).

 2. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно х, т.е. записать в виде x = f(y, y¢). Аналогично предыдущему, полагаем

у¢ = р. Тогда x = f(y, p) и из равенства dy = y¢dx получаем уравнение относительно функции у = у(р):

dy = p(f_y¢dy + f_p¢dp).

  [an error occurred while processing this directive]

Задача 12.

 Решить уравнение x = y¢ ³ + y¢.

 Решение. Введём параметр р = у¢. Отсюда х = р³ + р,

dx = (3p² + 1)dp. Подставив x, dx, y¢ = p в известное соотношение

dy = y¢dx, получим дифференциальное уравнение dy = p(3p² + 1)dp для определения у как функции, зависящей от параметра р.

 Интегрируя, получим . Так как х = р³ + р, то однопараметрическое семейство кривых

х = р³ + р

, p Î R

является решением задачи.

 б) Решение y = j(x) уравнения F(x, y, y¢) = 0 называется особым, если каждая точка кривой y = j(x) является точкой разветвления интегральных кривых. Так как в каждой точке кривой

y = j(x) теряется единственность решения, то условие разветвления будет иметь вид ; учитывая, что F(x, y, y¢) = 0, исключая y¢, получим j(x, y) = 0. Кривая j(x, у) = 0 называется дискриминантной кривой. Следующим шагом является проверка того факта, что эта кривая является решением.

Задача 13.

 Найти особое решение уравнения

F(x, y, y¢) = xy¢ ² – 2yy¢ + x = 0.

 Решение. Вычислим  Отсюда следует, что функции у = ⁺ х – дискриминантные кривые. Проверим, что у = ⁺ х является решением, подставляя в уравнение

x[(⁺ х)¢]² - 2(⁺ х) (⁺ х)¢ + x = 0, "x Î R.

Задачи для самостоятельной подготовки

а)  д)

б)  е)

в)  ж)

г)  з)