ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§6. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

 Теоремы существования и теоремы единственности решений дифференциальных уравнений являются фундаментом, на котором основаны всякого рода расчёты нелинейных уравнений.

 Т е о р е м а (существования и единственности)

 Пусть задача Коши y¢ = f(x,y), y(x₀) = y, где функция f(x,y) такова, что на множестве R = {(x,y): (x-x₀) £ a, (y-y₀) £ b}, | f | £ m и f,

f¢ - непрерывны. Тогда на отрезке x₀ – d £ x £ x₀ + d существует единственное решение задачи Коши, где d = min{a, b/m}, к которому сходится последовательность функций y_k(x), k Î N, определённых по формулам

, k = 1, 2, …

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Задача 11.

 Указать какой-нибудь интервал, на котором существует решение задачи Коши y¢ = x + y³, y(0) = 0; x₀ = 0, y₀ = 0.

 Решение. Отрезок, на котором существует единственное решение задачи Коши [x₀ – d, x₀ +d], определяется по формуле

d = min{a, b/m}. Выбрав a = 1, b = 1, получим значения для m:

m = max| x + y³ |, (x,y) Î R,

отсюда m = 2 и d = ½. Отрезок, на котором существует единственное решение задачи, есть [- ½, ½].

Задачи для самостоятельной подготовки

 Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует единственное решение задачи Коши:

а)  в)

б)  г)