ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§5. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

 Уравнение

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если

;

в этом случае существует функция u(x,y), полный дифференциал которой равен

du = Mdx + Ndy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах имеет вид

u(x,y) = C.

Функцию u можно найти по формуле Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

,

где криволинейный интеграл второго рода берётся от точки M(x₀,y₀) (любая точка) к точке M(x,y) по произвольной кривой (см. рис. 2)

Эти кривые удобны тем, что дифференциалы dx, dy равны нулю на их отдельных участках.

  [an error occurred while processing this directive]

Задача 8.

 Решить уравнение

.

 Решение. Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как

.

Найдём его общее решение в виде u(x,y) = C, где

.

Интегрируя, получим

.

Общее решение имеет вид

.

 Функцию u(x,y) можно найти и другим способом, если воспользоваться равенствами

 и

Из этого равенства находим u(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции:

,

где j(y) – произвольная дифференцируемая функция; F(x,y) – первообразная от M(x,y). Подставляя полученное выражение функции u(x,y) во второе равенство, получим дифференциальное уравнение для определения функции j(у):

.

Задача 9.

 Решить уравнение

2xydx+(x² – y²)dy = 0.

 Решение. Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как

.

Будем искать функцию u(x,y), полный дифференциал которой равен левой части дифференциального уравнения, из соотношения

.

Отсюда

.

Составим дифференциальное уравнение для определения функции j(у):

.

Таким образом,

,

и

,

а все решения исходного уравнения выражаются формулой

 или .

 В некоторых случаях, когда дифференциальное уравнение не является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, можно подобрать функцию m(x,y), после умножения на которую левая часть дифференциального уравнения становится положительным дифференциалом.

 Функция m(x,y) в этом случае называется интегрирующим множителем.

 Интегрирующий множитель может быть найден из дифференциального уравнения

, (*)

которое в общем случае решить не проще, чем исходное уравнение. Если же m зависит только от х, т.е. m(х,у) = m(х), то

.

Если же m = m(у), то уравнение (*) имеет вид

.

[an error occurred while processing this directive]

Задача 10.

 Решить уравнение

(1 – x²y)dx + x²(y – x)dy = 0.

 Решение. Так как

зависит только от х, то и m будет зависеть только от х. Решив уравнение

,

получим, что m(х) = 1/х². Умножив обе части исходного уравнения на m(х), получим уравнение в полных дифференциалах

(y – x²)dx – (y – x) dy = 0.

Решив его описанным выше способом, получим общее решение в виде

u(x,y) = C, где u(x,y) = x^-1 – yx + (½)×y² или xy² – 2x²y – 2 = Cx.

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить уравнение

а) ;

б) .