ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

 

§4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 Линейное уравнение первого порядка y¢ + a(x)y = b(x) имеет решение

,

выраженное через неопределённые интегралы.

 Задача Коши y¢+a(x)y = b(x), y(x₀) = y₀ имеет решение

.

Обратите внимание на переменные интегрирования!

Задача 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

 Решить уравнение

 Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид

Находя интегралы, получим

Общее решение линейного уравнения может быть найдено также с помощью метода вариации произвольной постоянной. В этом случае сначала ищется решение соответствующего однородного уравнения.

  [an error occurred while processing this directive]

Оно имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения ищется в таком же виде,

но произвольную постоянную заменяют функцией C = C(x).

 

Задача 7.

 Решить уравнение

(*)

 Решение. Сначала найдём общее решение соответствующего

однородного уравнения y¢ + 2xy = 0: y = . Общее решение

уравнения (*) будем искать в виде

 (**)

Подставив эту функцию и её производную в уравнение (*), получим дифференциальное уравнение относительно С(х): С(х) = 1. Отсюда С(x) = x + C₁, где С₁ – произвольная постоянная. Подставляя функцию С(х) в (**), получим общее решение уравнения (*).

 

Задачи для самостоятельной подготовки

а) Решить задачу Коши (начальную задачу)

y¢ = 4x + 2y, y(0) = 1;

б) Решить уравнение, линейное относительно переменной х

(2e^y - x)y¢ = 1.