ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  Однородные уравнения могут быть записаны в виде . Эти уравнения решаются подстановкой y = t×x, где t = t(x) является функцией переменной x.

Задача 5.

 Решить однородное уравнение

.

  Решение. Полагаем y = t×x, t = t(x) - функция x. Тогда

y¢ = t + t¢x. Подставляя в уравнение это выражение для y¢, получим

.

Пределы Математика Примеры решения задач

Полученное уравнение относительно t является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Пусть x = lnt, тогда

.

Вычислим интеграл подстановкой . Тогда

x = 2arctgu, ; .

Подставляя эти выражения в интеграл, получим

.

Возвращаясь к старым переменным, найдём решение:

.

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить однородные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .