ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§2. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

  При решении физических задач необходимо:

1)      определить, какую из физических величин взять за независимое переменное, а какую – за зависимое;

2)      найти приращение  из условий задачи;

3)      разделив полученное равенство на и перейдя к пределу при , получить дифференциальное уравнение.

Задача 2.

 Тело охладилось за 10 минут от 100 до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?

Решение. Обозначим температуру тела, которая зависит от времени t, через T(t). Тогда T(0) = 100 – начальная температура тела. Т(10) = 60 – температура тела через 10 минут. Найдём функцию T(t). Температура тела в момент  меньше, чем в момент t, причём разность  пропорциональна разности температур тела и воздуха Т – Т_в в силу простого физического закона: количество тепла, выделяемого телом за единицу времени, пропорционально температуре тела. Следовательно,

.

Отсюда .

Перейдя к пределу, получим . Решим полученное дифференциальное уравнение. Введём обозначение , тогда уравнение для функции t примет вид

.

Его решение имеет вид

.

Матричные уравнения Математика Примеры решения задач

Возвращаясь к старой переменной, получим решение исходного уравнения:

.

Найдём коэффициент К из условия Т(10) = 60. Получим

.

Окончательно решение примет вид

.

Время, в течении которого тело остынет до 25°, найдём из уравнения Т(t) = 25,

получим

.

Ответ: через 40 минут.

  [an error occurred while processing this directive]

Задача 3.

 Для остановки судов у причала с них бросают швартовый канал, который наматывают на кнехт (столб), стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг кнехта, коэффициент трения каната о кнехт равен k = 1/3 и рабочий на пристани тянет свободный конец каната с силой 10кг?

  Решение. Выведем уравнение для модуля силы торможения корабля в зависимости от угла поворота вокруг столба (уравнение Эйлера). Рассмотрим рисунок столба с намотанным на него канатом (вид сверху)

рис. 1

Участок длины каната между углами   и  должен быть уравновешен действующими на него силами (так как канат неподвижен). На этот участок каната действуют три силы: сила P(j), приложенная к точке А, сила P(j+Dj), приложенная к В и сила трения P_тр. Уравнение состояния имеет вид P(j+Dj) - P(j) + P_тр = 0. Найдём силы без учёта величин порядка 0(Dj). Из рисунка видно, что силы P(j) и P(j+Dj) прижимают отрезок каната с силой [P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2, которая направлена к центру столба. Величина силы трения равна

P_тр = k[P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2 @ P(j)Dj×k

Следовательно, получено соотношение между силами

P(j+Dj) - P(j) = -k P(j)Dj.

Разделив на Dj и перейдя к пределу, получим P¢ = -kP. Его решение P(j) = P(0)e^-kj (формула Эйлера). Сила P(j) после трёх оборотов j = 2p×3 равна P(6p) = 10 кг. Отсюда получим силу торможения корабля:

P(0) – P(6x)e^(1/3)6x @ 10×e^6,28 = 5000 кг.

Задача 4.

  Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива m, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и силой сопротивления воздуха (формула Циолковского).

  Решение. Обозначим через x массу сгоревшего топлива, а через v(x) – скорость ракеты как функцию от массы сгоревшего топлива. По закону сохранения импульса получим соотношение

[v(x+Dx) - v(x)] ×(M - x) = cDx.

Слева в этом равенстве стоит величина приращения импульса ракеты, которая стала легче на x, справа – величина импульса сгоревшего топлива массы Dx. Разделив обе части равенства на Dx и перейдя к пределу, получим уравнение

.

Решая его, получим

.

Когда топливо сгорело, x = M – m. Следовательно, скорость ракеты после сгорания топлива равна

.

Задачи для самостоятельной подготовки

  а) Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращённого вершиной вниз. За какое время из воронки через отверстие диаметра 0.5 см, сделанное в вершине конуса, вытечет вся вода?

  б) В воздухе комнаты объёмом 200 м³ содержится 0.15% углекислого газа СО₂. Система вентиляции подаёт 20м³ воздуха в минуту. Воздух, подаваемый ею, содержит 0.04% СО₂. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?