ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§19 УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

  Чтобы найти общее решение уравнения

где a_i, b – известные функции (х₁, …, x_n, u), необходимо

1) найти первые интегралы системы уравнений характеристик

 (*)

2) составить произвольную функцию от первых интегралов

F(j₁, j₂, …j_n), которая и будет общим решением исходного уравнения с частными производными, если j_I, i = 1, …, n – независимы. Сложение матриц Математика Примеры решения задач

  Задача Коши для уравнения в частных производных первого порядка формулируется так: найти решение u(x₁, …, x_n) уравнения (*), удовлетворяющее на (n – 1) – мерной поверхности S

S = {r(S): x₁(S₁, …, S_n-1), x₂(S₁, …, S_n-1), …, x_n(S₁, …, S_n-1)}

Условию u/S = w(S₁, S₂, …, S_n-1).

Задача 32.

[an error occurred while processing this directive]

  Найти общее решение уравнения

  Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик

Первый интеграл равен С₁ = ху + у². Функция Z вида Z = F(xy+y²),

где F – произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения.

Задача 33.

 Решить уравнение

  Решение. Составим систему уравнений характеристик

Первая пара дробей даёт первый интеграл   Подставив  во вторую пару дробей, получим

Интегрируя последнее уравнение, получим второй первый интеграл

Общее решение имеет вид

Задача 34.

[an error occurred while processing this directive]

  Решить уравнение

  Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик

Уравнение  даёт первый интеграл . Преобразуем три дроби   используя правило работы с равными дробями:

Отсюда получим второй первый интеграл С₂ = (½)ху - u.

Возьмём следующее уравнение  подставим  и в это уравнение, получим

Решим полученное линейное уравнение:

Получим третий первый интеграл

Задача 35.

 Решить задачу Коши

  y = 1.

  Решение. Найдём два первых интеграла. Составим систему

Отсюда получим первый первый интеграл С₁ = х²у.

Решая уравнение  при условии, что , получим второй первый интеграл

Подставим z = x², y = 1 в два первых интеграла:

Исключая х их этой пары равенств, получим связь между первыми интегралами  Подставляя вместо С₁ и С₂ первые интегралы, получим решение задачи Коши:

Задача 36.

 Решить задачу Коши

u = x² + y², z = 0.

  Решение. Найдём первые интегралы системы уравнений характеристики  они равны  

Найдём, используя начальные данные, связь между первыми интегралами:

u = x² + y² Þ u = 2C₂(C₁² + 1).

Подставим первые интегралы C₁ и C₂, получим решение: