ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§14. УСТОЙЧИВОСТЬ

 1. Исследование решения на устойчивость по первому приближению основано на теореме Ляпунова. Пусть имеется система, записанная в векторной форме

 Î R, f :

Точка  , такая, что  называется стационарной точкой системы. Очевидно, что  - решение этой системы. Вопрос об устойчивости этого решения водится к следующему. Разложим в ряд по формуле Тейлора в точке:

где - матрица функции Якоби в ; если собственное значения матрицыимеет только отрицательные вещественные части, то  ассимптотически устойчиво. Если хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то решение  неустойчиво.

  2. Исследование устойчивости решения дифференциального уравнения n-ого порядка сводится к условию отрицательности всех вещественных частей корней характеристического уравнения.

 Последнее же условие проверяется по критерию Рауса-Гурвица.

Вычислить предел Математика Примеры решения задач

Задача 25.

 Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение системы:

  Решение. Найдём матрицу Якоби функции f в точке (0,0):

 -  .

Собственные значения этой матрицы равны l₁ = -2 +,

l₂ = -2 -и являются отрицательными. Следовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво.

Задача 26.

 Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения

y¢¢¢ + 2y¢¢ + 2y¢ + 3y = 0.

  Решение. Составим матрицу Гурвица:

  =  

Главные миноры этой матрицы положительны, следовательно, корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, нуль устойчив.

[an error occurred while processing this directive]

§15. ОСОБЫЕ ТОЧКИ

  1. Особой точкой системы   называется точка (х₀, у₀), в которой Р(х₀, у₀) = Q(х₀, у₀) = 0. Если функции P и Q дважды дифференцируемы, то локально, вблизи точки (х₀, у₀), интегральные кривые этой системы ведут себя подобно интегральным кривым линейной системы

 ,

где х₁ и у₁ – новые координаты после переноса, т.е. х₁ = х – х₀,

у₁ = у – у₀, a, b, c, d – коэффициенты матрицы Якоби.

Задача 27.

 Исследовать особую точку, начертить проекции интегральных кривых на плоскости (х, у) (см. рис. 2)

  Решение. Точка (0, 0) – единственная особая точка. Матрица имеет вид  , её собственные значения

имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, точка (0, 0) – устойчивый узел.