ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§13. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  В данном параграфе мы рассмотрим только один из существующих методов решения систем с постоянными коэффициентами – метод для случая простых матриц. Матрица называется простой, если алгебраическая кратность её собственного значения совпадает с геометрической кратностью. В частности, если корни разные, то матрица простая.

  Рассмотрим систему в векторной форме x¢ = Ax, x(0) = x₀. Её решение имеет вид x(t) = exp(At)x₀, где exp(At) – матрица. В случае простых матриц имеет место формула f(A) =  Здесь f(x) – произвольная функция (например f = e^x / Sinx), l_i – собственные значения, z_i – компоненты матрицы. Если n = 3, f = exp(xt), то exp(lt) = exp(x₀t)z₁ + exp(l₂t)z₂ + exp(l₃t)z₃. Приведём пример нахождения z_i.

Задача 24.

  Решить систему:

 , А =  .

Предел функции Математика Примеры решения задач

Решение. Найдём матрицу exp(At) по следующему алгоритму:

1) Найдём собственные значения матрицы А по характеристическому многочлену l₁ = 1, l₂ = -4. Корни разные, следовательно, матрица А простая. В этом случае для любой функции f(x) справедливо равенство

f(A) = f(l₁)z₁ + f(l₂)z₂.  (*)

Нам нужна матрица f(A) = e^At. Она имеет вид e^At = e^tz₁ + e^2tz₂.

2) Найдём z_i. Подставим последовательно в (*) функции 1, l - 1, получим I = z₁ + z₂, A – I = -5z₂.

3) Решим систему уравнений относительно неизвестных матриц.

Перепишем в виде

z₁ + z₂  = I,

-5z₂ = A – I.

Далее, решая методом Гаусса, получим

z₂ = (-1/5)(A – I) Þ z₂ =  

z₁ = I + (1/5)(A – I) Þ z₁ =  .

Общее решение имеет вид

= С(e^tz₁ + e^-4tz₂) = Ce^t   + Ce^t .