ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§12. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

  1. Для отыскания решения краевой задачи

Ly= a₀(x)y¢¢ + a₁(x)y¢ + a₂(x)y = f(x), x₀ £ x £ x₁; (*)

ay¢(x₀) + by(x₀) = 0; gy¢(x₁) = dy(x₁) = 0 (**)

надо подставить общее решение неоднородного уравнения

у_он = у_оо + у_чн = С₁у₁(х) + С₂у₂(х) + у_чн(х),

где у₁, у₂ – два линейно незваисимых решения однородного уравнения, у_чн – частное решение неоднородного уравнения, в краевые условия и определить константы С₁ и С₂. Найти эти константы из краевых условий (**) не всегда удаётся и поэтому краевая задача (*), (**) не всегда имеет решение.

 2. Если краевая задача неизменна, кроме функции f(x), которая может изменяться от задачи к задаче (функция f(x) имеет смысл вынуждающей силы источника и т.п.), то решение краевой задачи (*), (**) выгодно записывать в форме

где G = G(x,s) – функция Грина однородной задачи f(x) = 0 (которая, в свою очередь, не всегда существует). Алгоритм нахождения

G = G(x,s) следующий: Неопределенный интеграл Математика Примеры решения задач

  а) найти два (у₁(х) и у₂(х)) нетривиальных решения неоднородного уравнения (*), причём у₁(х) должно удовлетворять первому, а у₂(х) – второму краевым условиям;

  б) функция Грина G(x,s) ищется в виде

  [an error occurred while processing this directive]

G(x,s) = a(s)y₁(x),  x₀ £ x £ s,

  b(s)y₂(x), s £ x £ x₁.

где функции a(s) и b(s) определены из системы

by₂(s) = ay₁(s); by₂¢(s) = ay₁¢(s) + 1 / a₀(s).

  3. Краевая задача на собственное значение имеет вид

Ly= a₀(x)y¢¢ + a₁(x)y¢ + a₂(x)y = ly,

ay¢(x₀) + by(x₀) = 0; gy¢(x₁) = dy(x₁) = 0.

Собственным значением этой задачи называется число l, при котором краевая задача имеет нетривиальное решение, которое, в свою очередь, называется собственной функцией задачи.

Задача 22.

Найти решение краевой задачи

у¢¢ + у = 1, у(0) = 0, у(p/2) = 0.

Решение. Найдём у_он(х) уравнения у¢¢ + у = 1. Оно равно у_он(х) = у_оо(х) + у_чн(х), где у_оо(х) = C₁e^ix + C₁^*e^-ix = aCosx + bSinx,

a, b Î R, y_чн = 1. Следовательно, у_он = aCosx + bSinx + 1.

Подставим у_он в краевые условия у_он(0) = 0, у_он(p/2) = 0, получим

а = -1, b = -1. Окончательно решение примет вид

y(x) = – Cosx – Sinx + 1.

  [an error occurred while processing this directive]

Задача 23.

Построить функцию Грина и записать решение краевой задачи через эту функцию:

у¢¢ + у¢ = arcsinx, у(0) = 0, у¢ (1) = 0.

Решение. Найдём согласно алгоритму у₁(х) и у₂(х). Для этого найдём общее решение однородного уравнения у_оо(х): у_оо(х) = C₁ + C₂e^-х. Функция у₁(х) должна иметь вид у₁(х) = C₁ + C₂e^-х, где C₁ и C₂ такие, что удовлетворяется первое краевое условие. Это имеет место, если, например, C₁ = 1, C₂ = –1, т.е . у₁(х) = 1 – e^-х. Функция у₂(х) имеет тот же вид у₂(х) = C₁ + C₂e^-х, но C₁ и C₂ такие, что у₂¢(1) = 0, т.е. C₂ = 0. Следовательно, у₂(х) = С₁ = 1. Функция Грина имеет вид

G(x,s) = a(s)(1-е^-х),

  b(s).

где функции a(s) и b(s) находятся из системы

b(s) = a(s)(1-е^-s), a(s) = е^-s;

ab(s) = a(s)е^-s + 1, Þ b(s) = 1-е^-s.

Функция Грина имеет вид

G(x,s) = е^s(1+е^-х), x₀ £ x £ s,

  1 – е^s, s £ x £ x₁.

Решение  краевой задачи имеет вид

Задача 23.

Решить краевую задачу на собственные значения:

у¢¢ = lу, у(0) = 0, у(1) = 0.

Решение. Общее решение уравнения у¢¢ = lу имеет вид Подставив у_оо(х) в краевые условия, получим систему уравнений для коэффициентов С₁ и С₂:

С₁ – С₂ = 0,

С₁exp(e) + С₂exp(-e) = 0.

1 1 = 0 Þ exp(2e)

exp(e) exp(-e)

Последнее соотношение является уравнением для l. Решим его:

e^2pki = 1, k = 0, ±1, ±2, …Þ 2e = 2pki.

Собственные значения равны l_k = -p²k² / e². Собственные функции этой задачи находим по формуле

y_оо = C₁exp(pkix / e) + C₂exp(-pkix / e)

и краевым условиям у(0) = у(е) = 0. Получим решение y(x) = Sin(pkx/e).

Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить краевые задачи:

а) у¢¢ + у¢ = 1, y¢(0) = 0, y(1) = 1;

б) у¢¢ + у = x, y¢(0) = 0, y(p/2) = 0;

в) у¢¢ = ly, y(0) = 0, y¢(1) = 0.