ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§11. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  Пусть у₁(х) и у₂(х) – два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка

a₀(x)y¢¢ + a₁(x)y¢ + a₂(x)y = 0,

тогда справедлива формула Лиувилля

y₁(x) y₂(x) = C×exp(), y₁¢(x) y₂¢(x) 

Таким образом, зная, например, функцию y₁(x), можно по этой формуле найти y₂(x) и наоборот.

Дифференцирование ФКП Примеры решения задач математика

  Интеграл Дюамеля. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

a₀(x)y¢¢ + a₁(x)y¢ + a₂(x)y = f(x), (*)

Подставим в это уравнение начальные данные (данные Коши):

у(х₀) = 0, (**)

у¢(х₀) = 0, (***)

тогда, оказывается, существует такая функция двух переменных G(x,t), 0£ t £ x, что решение задачи (*), (**), (***) можно найти по формуле

Выражение справа называется интегралом Дюамеля.

Алгоритм построения функции G(t,x).

  Шаг 1. Функция G(t,x) имеет вид

G(t,x) = a(t)y₁(x) + b(t) y₂(x),

Здесь y₁(x), y₂(x) – два линейно независимых решения однородного уравнения, т.е. при f(x) = 0; причём функция y₁(x) удовлетворяет условию (**), а функция y₂(x) удовлетворяет условию (***).

[an error occurred while processing this directive]

  Шаг 2. Функции a(t), b(t) находятся из условий

G(t,t) = 0,

Из этих условий получается система для определения a(t) и b(t):

a(t)y₁(t) + b(t)y₂(t) = 0,

a(t)y₁¢(t) + b(t)y₂¢(t) =

  Пример. Найти интеграл Дюамеля для уравнения

y¢¢ + w²y = b(t),

y(0) = y¢(0) = 0.

  Решение. Два решения уравнения имеют вид y₁ = Sinbt,

y₂ = Cosbt, причём y₁ удовлетворяет (**), а y₂ – (***).

Функция G(x,t) имеет вид

G(x,t) = a(t)y₁(x) + b(t) y₂(x), 0£ t £ x.

Найдём a и b из системы

aSinwt + bCoswt = 0,

awCoswt - bwSinwt = 1.

Решая систему, получим

, .

Отсюда

Следовательно, решение задачи имеет вид

Задача 21.

 Зная два частных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, найти его общее решение:

(x²-1)y¢¢ + 4xy¢ + 2y = 6x,

y_чн1 = x, y_xy2 = (x² +x + 1) / (x + 1). (*)

  Решение. Общее решение неоднородного уравнения у_он имеет вид у_он = у_оо + у_чн, где у_оо – общее решение однорордного уравнения, у_чн – частное решение неоднородного уравнения. В свою очередь, у_оо = С₁у₁ + С₂у₂, где у₁ = у₁(х) и у₂ = у₂(х) – два линейно независимых решения однородного уравнения. Таким образом, у_он можно записать в виде у_он = С₁у₁(х) + С₂у₂(х) + х; здесть в качестве у_чн выбрано у_чн1 = х (можно было выбрать и у_чн2). Найдём у₁(х) и у₂(х). Так как у_чн1 и у_чн2 – два решения уравнения (*), то имеют место тождества

(x² – 1) у¢¢_чн1 + 4xу¢_чн1 + 2у_чн1 = 6x;

(x² – 1) у¢¢_чн2 + 4xу¢_чн2 + 2у_чн2 = 6x.

Вычитая из второго уравнения первое, получим для разности

V = y_чн2 - y_чн1, равенство (x² – 1) V¢¢ + 4xV¢ + 2V = 0. Следовательно, разность V = y_чн2 - y_чн1 есть решение однородного уравнения, т.е. у₁(х) можно взять равным V(x):

y₁(x) = V(x) = (x² +x + 1) / (x + 1) – x = 1 / (x + 1).

Найдём у₂(х), используя формулу Лиувилля:

y₁ y₂ = C×exp() Þ 1 / (х + 1) y₂ =

y₁¢ y₂¢ (1 / (х + 1))¢ y₂¢

= C×exp() Þ

для функции у₂(х) получено уравнение первого порядка. Решим его, используя формулу из параграфа 5:

Задачи для самостоятельной подготовки

Найти общее решение дифференциального уравнения, зная одно его частное решение:

а) xy¢¢ + 2y¢ - xy = 0, y_чн1 = e^x/x;

б) x(x – 1)y¢¢ - xy¢ + y = 0, y_чн1 = x;

в) x²ylnx - xy¢ + y = 0, y_чн1 = x;