дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия


Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Рис.1.30.Сквозное отображение $ x\mapsto u\mapsto y$ из $ X$ в $ Y$

Таким образом, $ g\circ f:X\to Y$, $ (g\circ f)(x)=g(f(x))$ при всех $ x\in X$. Другое название композиции-- сложная функция (так как сквозное отображение $ g\circ f:x\mapsto u\mapsto y$ "сложено" из отображений $ f:x\mapsto u$ и $ g:u\mapsto y$).

Пример 1.18 Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$. Тогда $ \mathcal{E}(f)=[-1;1]=U_2$, и определена композиция
$\displaystyle h(x)=(g\circ f)(x)=\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x.$
Вычислить интегралы Математика Примеры решения задач

Упражнение 1.3 Покажите, что если заменить множество $ X$ в предыдущем примере на $ X=[-\frac{\pi}{2};0]$, то композиция $ g\circ f$ снова будет определена, но равна теперь $ -\cos x$, а не $ \cos x$.

Пример 1.19 Пусть $ f(x)=x+\frac{\pi}{2}$, $ x\in X=\mathbb{R}$, и $ g(u)=\sin u$, $ u\in U_2=\mathbb{R}$. Тогда определена композиция $ g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная формулой $ y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. По известной формуле приведения полученная композиция-- это косинус: $ (g\circ f)(x)=\cos x$ при всех $ x\in\mathbb{R}$.

Замечание 1.5 Даже если для функций $ f$ и $ g$ имеют смысл обе композиции $ {h_1=f\circ g}$ и $ {h_2=g\circ f}$ (что бывает далеко не для любой пары функций $ f$ и $ g$), то функции $ h_1$ и $ h_2$ не обязаны совпадать; как правило, это не так.

Пример 1.20 Пусть $ f(x)=x^2$ и $ g(x)=\sin x$, $ X=U_1=U_2=Y=\mathbb{R}$. Тогда $ h_1(x)=f(g(x))=\sin^2x$, а $ h_2(x)=g(f(x))=\sin(x^2)$. Очевидно, что это разные функции: $ \sin^2x\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, а $ \sin(x^2)$ принимает значение $ -1$, например, при $ x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}$.

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида $ h(g(f(x)))$ и более длинные композиции.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;