дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Векторное произведение

Предложение 10.19 Векторное произведение $ {\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b-- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что $ {{\bf a}\times {\bf b}=0}$ тогда и только тогда, когда $ {{\bf a}=0}$ , или $ {{\bf b}=0}$ , или $ {\sin {\varphi}=0}$ . Из последнего равенства получим, что $ {{\varphi}=0}$ или $ {{\varphi}=\pi}$ , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

Предложение 10.20 Для любых векторов a и b и любого числа $ {\lambda}$ выполняется равенство $ {({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Функции нескольких переменных Математика Примеры решения задач

Доказательство. Если $ {\lambda}=0$ , то утверждение очевидно. Если векторы a и b-- коллинеарные, то векторы $ {\lambda}{\bf a}$ и b-- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть $ {\lambda}>0$ , a, b-- неколлинеарные, $ {{\bf c}=({\lambda}{\bf a})\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}={\lambda}({\bf a}\times {\bf b})}$ . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами $ {\lambda}{\bf a}$ и b, равны. Следовательно,

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...a}\times {\bf b}\vert={\lambda}\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, $ {{\bf c}={\bf d}}$ .

Пусть $ {\lambda}<0$ . Тогда векторы $ {\lambda}{\bf a},{\bf b}$ образуют угол $ \psi, \psi=\pi-{\varphi}$ , рис. 10.25.




Рис.10.25.


Вычисляем модули:

$\displaystyle \vert{\bf c}\vert=\vert{\lambda}{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin... ...\varphi})= \vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

$\displaystyle \vert{\bf d}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert=\vert{\lambda}\vert\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi},$

то есть $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert$ . Векторы $ {\bf a}\times {\bf b}, {\bf c}$ и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от $ {\lambda}{\bf a}$ к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору $ {\bf a}\times{\bf b}$ (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что $ {\bf c}={\bf d}$ .

Предложение 10.21 Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть $ {{\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}}$ .

Доказательство это свойства будет проведено позже.

С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.

Предложение 10.22 Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,
$\displaystyle S_{пар}=\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$
Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле
$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\vert{\bf a}\times {\bf b}\vert.$

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

Предложение 10.23 Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .

Доказательство. Пусть a и b-- любые неколлинеарные векторы, $ {{\bf c}={\bf b}}$ . Тогда вектор $ {{\bf a}\times {\bf b}\ne0}$ , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы $ {\bf a}\times{\bf b}$ и c-- неколлинеарные, поэтому $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne0}$ . С другой стороны, $ {{\bf b}\times {\bf c}={\bf b}\times {\bf b}=0}$ по предложению 10.19. Поэтому $ {{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})=0}$ . Получили, что $ {({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}\ne{\bf a}\times ({\bf b}\times {\bf c})}$ .


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;