дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Векторное произведение

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение 10.26 Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) $ \vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где $ {\varphi}$ -- угол между a и b и, если $ \vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Замечание 10.5 Угол между векторами в пространстве всегда удовлетворяет условию $ 0\leqslant {\varphi}\leqslant \pi$ . Таким образом, $ \sin{\varphi}\geqslant 0$ . Если $ {\bf a}=0$ или $ {\bf b}=0$ , то считается, что векторное произведение равно 0.

Векторное произведение вектора a на вектор b обозначается $ {\bf a}\times{\bf b}$ или $ [{\bf a},{\bf b}]$ .

Предложение 10.18 Векторное произведение антикоммутативно, то есть
$\displaystyle {\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}.$
Исследовать поведение функции Математика Примеры решения задач

В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

Доказательство. Пусть $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ , $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf a}$ . Нужно показать, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Из условия 1 следует, что $ {\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf d}\vert}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert=0}$ , то очевидно, что $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Если $ {\vert{\bf c}\vert\ne0}$ , то векторы c и d-- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: $ {{\bf c}={\bf d}}$ или $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ . Пусть вектор $ {{\bf d}={\bf b}\times {\bf a}}$ совпадает с вектором $ {{\bf c}={\bf a}\times {\bf b}}$ . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, $ {{\bf c}=-{\bf d}}$ .


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;