Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

  Пример 19.11   Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$
к каноническому виду.
Решение. Квадратичная форма имеет вид
$\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz.$
Выписываем ее матрицу
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&1&3\\ 1&5&1\\ 3&1&1\end{array}\right).$
Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambda}&1&3\\ 1&5-{\lambda}&1\\ 3&1&1-{\lambda}\end{array}\right\vert=0.$
После вычисления определителя получим
$\displaystyle -{\lambda}^3+7{\lambda}^2-36=0.$
Подбором находим один корень $ {{\lambda}_1=3}$ . Преобразуем уравнение, выделяя множитель $ {{\lambda}-3}$
$\displaystyle -{\lambda}^3+3{\lambda}^2+4{\lambda}^2-12{\lambda}+12{\lambda}-36=0$
или
$\displaystyle -{\lambda}^2({\lambda}-3)+4{\lambda}({\lambda}-3)+12({\lambda}-3)=0,$
откуда
$\displaystyle ({\lambda}-3)({\lambda}^2-4{\lambda}-12)=0.$
Находим два других корня характеристического уравнения $ {{\lambda}_2=6}$ и $ {{\lambda}_3=-2}$ .
Находим собственные векторы. Для собственного числа $ {{\lambda}_1=3}$ для координат собственного вектора $ {\alpha}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\alpha}_1+{\alpha}_2+3{\alpha}_3=0,\\ {... ...ha}_2+{\alpha}_3=0,\\ 3{\alpha}_1+{\alpha}_2-2{\alpha}_3=0.\end{array}\right.$
Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_2=6}$ для координат собственного вектора $ {\beta}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-5{\beta}_1+{\beta}_2+3{\beta}_3=0,\\ {\be... ...{\beta}_2+{\beta}_3=0,\\ 3{\beta}_1+{\beta}_2-5{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ . Для собственного числа $ {{\lambda}_3=-2}$ для координат собственного вектора $ {\gamma}$ получим систему уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0,\\ {\... ...ma}_2+{\gamma}_3=0,\\ 3{\gamma}_1+{\gamma}_2+3{\gamma}_3=0.\end{array}\right.$
Отсюда находим собственный вектор $ {{\gamma}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .
Легко проверить, что $ {({\alpha},{\beta})=({\alpha},{\gamma})=({\beta},{\gamma})=0}$ , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно $ \sqrt3$ , $ \sqrt6$ , $ \sqrt 2$ . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты
$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}\... ...\ \vphantom{\dfrac11}0\\ \vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Матрица перехода имеет вид
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}\vphantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac... ...hantom{\dfrac11}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}\end{array}\right).$
Старые координаты связаны с новыми уравнением $ {\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)= S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right)}$ , то есть
\begin{multline*} x=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'-\frac1{\sqrt2}z',\quad ... ...6}y',\\ z=\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'. \end{multline*} (19.10)
 


Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа

\begin{multline*} 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-2\left(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6... ...ft(\frac1{\sqrt3}x'+\frac1{\sqrt6}y'+\frac1{\sqrt2}z'\right)=0. \end{multline*}

Приводим подобные члены

$\displaystyle 3(x')^2+6(y')^2-2(z')^2-\frac6{\sqrt3}x'+\frac{12}{\sqrt6}y'+\frac4{\sqrt2}z'=0.$

Выделим полные квадраты

\begin{multline*} 3\left((x')^2-\frac2{\sqrt3}x'+\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2\... ...z')^2-\frac2{\sqrt2}z'+\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2\right)+1=0 \end{multline*}

или

$\displaystyle 3\left(x'-\frac1{\sqrt3}\right)^2+6\left(y'+\frac1{\sqrt6}\right)^2-2\left(z'-\frac1{\sqrt2}\right)^2=1.$

Выполняем параллельный перенос осей координат

$\displaystyle \tilde x=x'-\frac1{\sqrt3},\quad \tilde y=y'+\frac1{\sqrt6},\quad \tilde z=z'-\frac1{\sqrt2}.$

Новое начало системы координат $ O_1$ имеет координаты

$\displaystyle x'=\frac1{\sqrt3},\quad y'=-\frac1{\sqrt6},\quad z'=\frac1{\sqrt2}.$

В исходной системе координат точка $ O_1$ в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты

$\displaystyle x=-\frac13,\quad y=-\frac23,\quad z=\frac23.$



Рис.19.9.Система координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$


В новой системе координат $ {O_1\tilde x\tilde y\tilde z}$ (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2}+\frac{\tilde y^2... ...(\frac1 {\sqrt6}\right)^2}-\frac{\tilde z^2}{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}=1.$

Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке $ O_1$ , две вещественные оси параллельны векторам $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , вещественные полуоси равны $ {\frac1{\sqrt3}}$ , $ {\frac1 {\sqrt6}}$ . Мнимая ось параллельна вектору $ {\bf k}'$ , мнимая полуось равна $ {\frac1{\sqrt2}}$ . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.




Рис.19.10.Изображение гиперболоида

      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;