Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат $ Oxyz$ . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

$\displaystyle a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b_1x+b_2y+b_3z+c=0,$(19.7)
 


где $ a_{ij},\,b_i,\,c$  -- числа, причем хотя бы одно из чисел $ a_{ij}$ отлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

$\displaystyle f=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz.$

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right).$

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы $ f$ . Она является симметричной, то есть $ {A^{\top}=A}$ , или, другими словами, $ {a_{ij}=a_{ji}}$ . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right)}$ задается формулой $ {({\alpha},{\beta})={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3}$ . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

        Теорема 19.4   Если матрица $ A$  -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.     

Пусть $ A$ -- матрица квадратичной формы $ f$ . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ , и пусть эти векторы имеют координаты

$\displaystyle {\bf i}'=\left(\begin{array}{c}s_{11}\\ s_{21}\\ s_{31}\end{array... ...uad {\bf k}'=\left(\begin{array}{c}s_{13}\\ s_{23}\\ s_{33}\end{array}\right).$
Базис i, j, k назовем старым, а базис $ {{\bf i}', {\bf j}', {\bf k}'}$  -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид
 
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{ccc}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23}\\ s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{array}\right).$

Выберем новую систему координат $ {Ox'y'z'}$ так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы $ {\bf i}'$ , $ {\bf j}'$ , $ {\bf k}'$ задают направления новых координатных осей $ Ox'$ , $ Oy'$ , $ Oz'$ (рис. 19.8).

Рис.19.8.Система координат $ {Ox'y'z'}$


Тогда координаты $ (x;y;z)$ точки $ M$ являются координатами ее радиус-вектора $ \overrightarrow {OM}$ и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=S\left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right).$(19.8)



Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;