дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

Метод секущих

В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$. Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $ f(x)$.

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $ f'$ и $ {\lambda}_0$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $ (x_i;f(x_0))$ на графике $ y=f(x)$ с угловым коэффициентом $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$. Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$

Найдём точку пересечения этой прямой с осью $ Ox$ из уравнения

$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,$

откуда $ x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}$. Следовательно, эта прямая пересекает ось $ Ox$ как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки $ x_0$, через соответствующие точки графика $ y=f(x)$ проводятся секущие с угловым коэффициентом $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ того же знака, что производная $ f'(x_0)$. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция $ f(x)$ или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных $ x_i$, имеют один и тот же угловой коэффициент $ k$ и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью $ Ox$.

Рис.9.11.Последовательные итерации метода секущих

На чертеже слева изображены итерации при $ f'(x)>0$, в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)$ и в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)$. Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка $ x_i$ уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня $ x^*$, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки $ x_i$ приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае $ f'(x)<0$, то есть когда функция $ f(x)$ убывает.)

Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:

$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.$

Это неравенство можно записать в виде

$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,$

так как $ -{\gamma}+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа $ {\lambda}_0$), а во-вторых, когда $ {\lambda}_0f'(x)<2$ при всех $ x$ на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},$

где $ M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert$. Таким образом, угловой коэффициент $ k$ не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка $ x_1$ может выскочить из рассматриваемой окрестности корня $ x^*$, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;