дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Ядерное оружие | Теория атома | Испытания ядерного оружия | Испытания в атмосфере | Средства доставки | Разное | Фотоальбом | Ядерный потенциал США | Россия | Англия | Франция | Индия| Пакистан | Китай | Остальные Ядерная физика | Реактор РБМК-1000 | Реактор ВВЭР | Реактор БН-600 Юбилей атомной энергетики | Лекции | АЭС Учебник Excel Главная

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.

        Теорема 19.2   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование $ n$ -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda}_1&0&\ldots&0\\ 0&{\lambda}_2&\ldots&0\\ \hdotsfor{4}\\ 0&0&\ldots&{\lambda}_n\end{array}\right)$(19.5)
 

тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующими собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2, \ldots,\,{\lambda}_n}$ .

        Доказательство.     Пусть преобразование $ \mathcal{A}$ имеет $ n$ линейно независимых собственных векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ . Так как векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования $ \mathcal{A}$ в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A}(e_1)}$ . Так как $ {e_1}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_1)={\lambda}_1e_1={\lambda}_1e_1+0e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}{\lambda}_1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Второй столбец матрицы $ A$ является координатным столбцом вектора $ {\mathcal{A} (e_2)}$ . Так как $ {e_2}$  -- собственный вектор, то

$\displaystyle \mathcal{A}(e_2)={\lambda}_2e_2=0e_1+{\lambda}_2e_2+\ldots+0e_n.$

Координатный столбец этого вектора $ \left(\begin{array}{c}0\\ {\lambda}_2\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ . Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования $ \mathcal{A}$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеет вид  (19.5). Первая часть теоремы доказана.

Пусть в некотором базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора $ e_1$ . Этот вектор имеет координатный столбец $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , его образ имеет координатный столбец

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)= \le... ...}\right)={\lambda}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right).$

Следовательно, $ {\lambda}_1$  -- собственное число преобразования $ \mathcal{A}$ , а $ e_1$  -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор $ e_i$ является собственным вектором преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}_i$ .     

        Следствие 19.2   Если у матрицы $ A$ порядка $ n$ существует набор из $ n$ линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ , то матрица $ A$ подобна диагональной матрице с числами $ {{\lambda}_1,\,{\lambda}_2\ldots,\,{\lambda}_n}$ на диагонали.
       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;