дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия


Метод простых итераций

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant 4{\delta}{\gamma}^i,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкой
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем
$\displaystyle {\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)={\varphi}'(c_0)(x_0-x^*),$
где $ c_0$ лежит между $ x_0$ и $ x^*$. Значит,
$\displaystyle \vert{\varphi}(x_0)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert,$
то есть
$\displaystyle \vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}\vert x_0-x^*\vert$
(напомним, что $ {\varphi}(x_0)=x_1$ и $ {\varphi}(x^*)=x^*$). Повторяя рассуждения для точек $ x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_i$ вместо $ x_0$, получаем:
$\displaystyle \vert x_2-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_1)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_1-x^*\vert\leqslant {\gamma}^2\vert x_0-x^*\vert;$    
$\displaystyle \vert x_3-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_2)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_2-x^*\vert\leqslant {\gamma}^3\vert x_0-x^*\vert;$    
$\displaystyle \dots$    
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_{i-1})-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_{i-1}-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert;$    
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x^*\vert=\vert{\varphi}(x_i)-{\varphi}(x^*)\vert\leqslant {\gamma}\vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert;$    
$\displaystyle \dots$    

Так как $ 0<{\gamma}<1$, последовательность $ {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert$ стремится к 0 при $ i\to\infty$. Значит, $ x_i\to x^*$ при $ i\to\infty$.
Неравенство $ \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i$ очевидно, поскольку из того, что $ x_0$ и $ x^*$ лежат в окрестности $ E$ длины $ 2{\delta}$, следует, что $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}$.
Поскольку
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant \vert x_{i+1}-x^*\vert+\vert x_i-x^*\vert,$
мы имеем
$\displaystyle \vert x_{i+1}-x_i\vert\leqslant {\gamma}^{i+1}\vert x_0-x^*\vert+... ...mma}+1)\vert x_0-x^*\vert< {\gamma}^i\cdot2\cdot2{\delta}=4{\delta}{\gamma}^i,$
так как $ {\gamma}+1<2$ и $ \vert x_0-x^*\vert\leqslant 2{\delta}.$     
        Определение 9.1   Доказанные оценки показывают, что скорость сходимости итераций к корню не меньше, чем у геометрической прогрессии со знаменателем $ {\gamma}$, где $ {\gamma}$ -- величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше $ {\gamma}>0$, тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график $ y={\varphi}(x)$ пересекает прямую $ y=x$, имея горизонтальную касательную, то есть при $ {\varphi}(x^*)=0$ (и, разумеется, при выборе начального приближения $ x_0$ достаточно близко к корню $ x^*$, так чтобы на отрезке между $ x_0$ и $ x^*$ производная мало отличалась от 0).
Рис.9.10.Быстрая сходимость итераций при горизонтальной касательной к графику

    
Выше мы отмечали, что привести уравнение $ f(x)=0$ к виду $ x={\varphi}(x)$ можно, выбирая $ {\varphi}(x)$ в виде $ {\varphi}(x)=x-{\lambda}(x)f(x)$, где $ {\lambda}(x)\ne0$ -- произвольная функция. При различных способах выбора $ {\lambda}(x)$ получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции $ f$ или $ {\varphi}$, а также их производных.
Отметим самые употребительные из этих методов.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;