дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия


Метод простых итераций

Предположим, что уравнение $ f(x)=0$ при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду $ x={\varphi}(x)$.

Заметим, что такое преобразование можно вести разными способами, и при этом будут получаться разные функции $ {\varphi}(x)$ в правой части уравнения. Уравнение $ f(x)=0$ эквивалентно уравнению $ x=x+{\lambda}(x)f(x)$ при любой функции $ {\lambda}(x)\ne0$. Таким образом, можно взять $ {\varphi}(x)=x+{\lambda}(x)f(x)$ и при этом выбрать функцию (или постоянную) $ {\lambda}\ne0$ так, чтобы функция $ {\varphi}(x)$ удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения.

Для нахождения корня уравнения $ x={\varphi}(x)$ выберем какое-либо начальное приближение $ x_0$ (расположенное, по возможности, близко к корню $ x^*$). Далее будем вычислять последующие приближения

$\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_i,x_{i+1},\dots$

по формулам

$\displaystyle x_1={\varphi}(x_0);x_2={\varphi}(x_1);\dots;x_{i+1}={\varphi}(x_i);\dots\quad,$

то есть используя каждое вычисленное приближение к корню в качестве аргумента функции $ {\varphi}(x)$ в очередном вычислении. Такие вычисления по одной и той же формуле $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, когда полученное на предыдущем шаге значение используется на последующем шаге, называются итерациями. Итерациями называют часто и сами значения $ x_i$, полученные в этом процессе (то есть, в нашем случае, последовательные приближения к корню).

Заметим: тот факт, что $ x^*$ -- корень уравнения $ x={\varphi}(x)$, означает, что $ x^*$ есть абсцисса точки пересечения графика $ y={\varphi}(x)$ с прямой $ y=x$. Если же при каком-либо $ x_0$ вычислено значение $ x_1={\varphi}(x)$ и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика $ (x_0;{\varphi}(x_0))$ проводится горизонталь до прямой $ y=x$, а оттуда опускается перпендикуляр на ось $ Ox$. Там и будет находиться новый аргумент $ x_1$.

Рис.9.3.Точка $ x^*$ -- решение уравнения $ x={\varphi}(x)$. Построение точки $ x_1$ по точке $ x_0$

Проследим, как изменяются последовательные приближения $ x_i$ при различных вариантах взаимного расположения графика $ y={\varphi}(x)$ и прямой $ y=x$.

1). График $ y={\varphi}(x)$ расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, включающей начальное приближение $ x_0$, в некотором угле со сторонами, имеющими наклон менее $ \frac{\pi}{4}$ к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые $ y=f(x^*)\pm k(x-x^*)$, где $ 0<k<1$):

 

Рис.9.4.График пересекает прямую $ y=x$ под малым углом: варианты расположения

Если предположить вдобавок, что функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x)$, то этот случай соответствует тому, что выполнено неравенство $ \vert{\varphi}'(x)\vert<1$, при $ x$, близких к корню $ x^*$. Проследим в этом случае за поведением последовательных приближений $ x_0,x_1,\dots.$

Рис.9.5.Сходящиеся к корню приближения в случае $ \vert{\varphi}(x)\vert<1$: два варианта

Мы видим, что каждое следующее приближение $ x_{i+1}$ будет в этом случае расположено ближе к корню $ x^*$, чем предыдущее приближение $ x_i$. При этом, если график при $ x<x^*$ лежит ниже горизонтали $ y={\varphi}(x^*)$, а при $ x>x^*$ -- выше её (что, в случае наличия производной, верно, если $ 0<{\varphi}'(x)<1$), то приближения $ x_i$ ведут себя монотонно: если $ x_0<x^*$, то последовательность $ \{x_i\}$ монотонно возрастает и стремится к $ x^*$, а если $ x_0>x^*$, то монотонно убывает и также стремится к $ x^*$. Если же график функции $ {\varphi}(x)$ лежит выше горизонтали $ y={\varphi}(x^*)$ при $ x<x^*$ и ниже её при $ x>x^*$ (это так, если $ -1<{\varphi}'(x)<0$), то последовательные приближения $ x_i$ ведут себя иначе: они "скачут" вокруг корня $ x^*$, с каждым скачком приближаясь к нему, но так же стремятся к $ x^*$ при $ i\to\infty$.

Заметим, что если функция $ {\varphi}(x)$ не монотонна в окрестности точки $ x^*$, то последовательные приближения могут вести себя нерегулярно (то есть не монотонно и не оказываясь попеременно то левее, то правее корня, а делая скачки относительно корня при произвольных номерах (см. следующий чертёж):

Рис.9.6.В случае немонотонной функции $ {\varphi}$ сходящиеся итерации могут вести себя нерегулярно

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;