Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Решение. Составляем характеристическую матрицу ${A-{\lambda}E}$ :
$\displaystyle A-{\lambda}E=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end... ...}{ccc}1-{\lambda}&-3&4\\ 4&-7-{\lambda}&8\\ 6&-7&7-{\lambda}\end{array}\right).$
Находим характеристический многочлен
$\begin{multline*} \vert A-{\lambda}E\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}1-{\lambd... ...-7-{\lambda})\big)=\\ =-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3. \end{multline*}$

Решим характеристическое уравнение
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=0.$
Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен ${-{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3}$ должен делиться на ${{\lambda}-(-1)}$ . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель ${{\lambda}+1}$ :
$\begin{multline*} -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=(-{\lambda}^3-{\lambda}... ...+3({\lambda}+1)=\\ =({\lambda}+1)(-{\lambda}^2+2{\lambda}+3). \end{multline*}$

Находим корни трехчлена ${-{\lambda}^2+2{\lambda}+3}$ . Они равны и 3. Таким образом,
$\displaystyle -{\lambda}^3+{\lambda}^2+5{\lambda}+3=-({\lambda}+1)^2({\lambda}-3),$
${{\lambda}_1=-1}$ -- корень кратности 2 17.7 b, ${{\lambda}_2=3}$ -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ . Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть ${{\lambda}=-1}$ , тогда для собственного вектора ${\alpha}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}2&-3&4\\ 4&-6&8\\ 6&-7&8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ {\alpha}_3\end{array}\right)=0,$
что соответствует системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2+4{\alpha}_3=0,\\ ... ...2+8{\alpha}_3=0,\\ 6{\alpha}_1-7{\alpha}_2+8{\alpha}_3=0. \end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 4&-6&8&0\\ 6&-7&8&0\end{array}\right).$
Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&0&0&0\\ 0&2&-4&0\end{array}\right).$
Меняем местами вторую и третью строки
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}2&-3&4&0\\ 0&2&-4&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2-4{\alpha}_3&0,\\ 2{\alpha}_2+4{\alpha}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные ${\alpha}_1$ и ${\alpha}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\alpha}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}2{\alpha}_1-3{\alpha}_2&-4{\alpha}_3,\\ 2{\alpha}_2&4{\alpha}_3\end{array}\right.$
Полагаем ${{\alpha}_3=1}$ , находим ${{\alpha}_2=2}$ , ${{\alpha}_1=1}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ .
Пусть ${{\lambda}=3}$ , тогда для собственного вектора ${\beta}$ получаем матричное уравнение
$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&4\\ 4&-10&8\\ 6&-7&4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ {\beta}_3\end{array}\right) =0,$
что соответствует системе уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3=0,\\ 4{\... ...beta}_2+8{\beta}_3=0,\\ 6{\beta}_1-7{\beta}_2+4{\beta}_3=0.\end{array}\right.$
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу $\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 4&-10&8&0\\ 6&-7&4&0\end{array}\right).$
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам $\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&-16&16&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrr}-2&-3&4&0\\ 0&-16&16&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right).$
Возвращаемся к системе уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2+4{\beta}_3&0,\\ -16{\beta}_2+16{\beta}_3&0\end{array}\right.$
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные ${\beta}_1$ и ${\beta}_2$ оставляем в левой части, а переменное ${\beta}_3$ переносим в правую часть
$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}-2{\beta}_1-3{\beta}_2&-4{\beta}_3,\\ -16{\beta}_2&-16{\beta}_3\end{array}\right.$
Полагаем ${{\beta}_3=1}$ , находим ${{\beta}_2=1}$ , ${{\beta}_1=0.5}$ . Итак, собственному числу ${{\lambda}_1=-1}$ соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу ${{\lambda}_2=3}$ соответствует собственный вектор ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .
Ответ: Собственные числа: ${{\lambda}_1=-1}$ , ${{\lambda}_2=3}$ , соответствующие собственные векторы: ${{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$ , ${{\beta}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)}$ .

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

Лекции первого семестра первого курса
	Линейная алгебра. Элементы векторной алгебры Аналитическая геометрия Введение в математический анализ Дискретная математика Системы координат Элементы высшей алгебры Вычислить значение функции
Лекции второго семестра первого курса
	Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теоремы о среднем Раскрытие неопределенностей Производные и дифференциалы высших порядков Интегральное исчисление Методы интегрирования Интегрирование по частям
Лекции второго курса, третий семестр
	Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения Лагранжа и Клеро Решение задачи Коши методом разделения переменных Ряды Критерий Коши Ряды Фурье Ряды Тейлора и Лорана Ряды и интеграл Фурье
Теория вероятностей. Основные понятия
	Формула Бейеса. Формула Бернулли Распределение Пуассона Теория массового обслуживания Случайные процессы Примеры решения задач Цепи Маркова. изменить порядок интегрирования Математика Примеры решения задач
Математический анализ
	Двойной интеграл Двойной интеграл в полярных координатах Тройной интеграл Формула Остроградского Формула Стокса Скалярное и векторное поле
Математический анализ часть вторая
	Функции Гиперболические функции Геометрический смысл производной Логарифмическое дифференцирование Теорема Тейлора Разложение по формуле Маклорена
Числовые ряды Степенные ряды
	Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда Теорема Лейбница Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
Теория функций комплексногопеременного - ТФКП
	Пространственная комплексная система чисел Функции пространственного комплексного переменного Интегральные теоремы Коши в комплексном пространстве

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;