дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

Скалярное произведение

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

 

 

        Определение 10.25   Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное $ \vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}$ , где $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b.        

 

 

        Замечание 10.4   Если один из векторов нулевой, то угол $ {\varphi}$ не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.        

 

Скалярное произведение обозначается $ {\bf a}\cdot{\bf b}$ , или $ {\bf a}{\bf b}$ , или $ ({\bf a},{\bf b})$ . Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается $ {\bf a}^2$ . Скалярное произведение обладает следующими свойствами, которые мы сформулируем в виде теоремы.

 

        Теорема 10.2   Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения:
1) $ {\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf a}$ , свойство коммутативности;
2)$ {\bf a}({\bf b}+{\bf c})={\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}$ , свойство дистрибутивности;
3) $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\lambda}({\bf a}{\bf b})$ ;
4)$ {\bf a}^2>0$ при $ {\bf a}\ne0$ ;
5)$ {\bf a}^2=\vert{\bf a}\vert^2$ ;
6) Если $ {\varphi}$  -- угол между векторами a и b, то $ \cos{\varphi}=\dfrac{{\bf a}{\bf b}} {\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert}$ ;
7) $ {\bf a}{\bf b}=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf b}$ , если $ {\bf a}\ne0$ ;
8) $ {\bf a}{\bf b}=0$ тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

 

        Доказательство.    Свойства 1,4,5,6 очевидным образом следуют из определения скалярного произведения. Свойство 8 получим, если вспомним, что нулевой вектор считается ортогональным любому вектору. Свойство 7 получим из определения скалярного произведения, использовав  предложение 10.13, в силу которого $ { Пр_{{\bf a}}{\bf b}=\vert{\bf b}\vert\cos{\varphi}}$ .

Докажем свойство 2. В силу свойства 7, при $ {\bf a}\ne0$ , имеем $ {{\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}({\bf b}+{\bf c})}$ . По  предложению 10.14 $ { Пр_{{\bf a}} ({\bf b}+{\bf c})=Пр_{{\bf a}}{\bf b}+ Пр_{{\bf a}}{\bf c}}$ . Поэтому

 

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}+{\bf c})=\vert{\bf a}\vert\left( Пр_{{\bf a}}{\b... ...}{\bf b}+\vert{\bf a}\vert Пр_{{\bf a}}{\bf c}= {\bf a}{\bf b}+{\bf a}{\bf c}.$

 

Если $ {\bf a}=0$ , то свойство 2 очевидно.

Докажем свойство 3. При $ {\bf b}=0$ свойство очевидно. Пусть $ {\bf b}\ne0$ . Тогда

 

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}={\bf b}({\lambda}{\bf a})=\vert{\bf b}\vert Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a}).$

 

В силу  предложения 10.15 $ { Пр_{{\bf b}}({\lambda}{\bf a})={\lambda}Пр_{{\bf b}}{\bf a}}$ . Поэтому

 

$\displaystyle ({\lambda}{\bf a}){\bf b}=\vert{\bf b}\vert{\lambda}Пр_{{\bf b}}{... ..._{{\bf b}}{\bf a}\right)= {\lambda}({\bf b}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}).$

 

Итак, все свойства доказаны.    

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;