дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

 

Метод половинного деления

  Пример 9.5   Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Пусть корень этого уравнения требуется вычислить с точностью $ {\varepsilon}=0.001$. Начинаем решение методом половинного деления с отрезка $ [-2;-1]$, на котором отделён корень $ x^*$.
Последовательно находим значение функции в серединах получающихся отрезков:
\begin{multline*} f(-1.5)=1.625;f(-1.75)=0.515625;f(-1.875)=-0.185547;\dots;\\ f(-1.841797)=0.011269, \end{multline*}
после чего вычисления прекращаются на девятом шаге, так как очередной отрезок имеет длину $ \dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}<2{\varepsilon}=\dfrac{1}{500}.$ При этом середина последнего отрезка -- это точка $ -1.842773$. Получаем, что приближённое значение $ \wt x$ корня $ x^*$ с точностью до $ 0.001$ равно $ \wt x\approx-1.843$.     

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно один раз вычислять значение функции $ f(x)$ (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придётся для нахождения корня с точностью $ {\varepsilon}$ вычислить значение функции $ N=k+1$ раз. Число $ k$ можно определить из неравенства $ \dfrac{b-a}{2^k}\leqslant 2{\varepsilon}$, откуда

$\displaystyle N=k+1=\left\lceil\log_2\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1.$

Это значение $ N$ при малых $ {\varepsilon}$ много меньше того значения $ N=\left\lceil\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1$, которое мы получили, анализируя метод простого перебора.

Заметим, что метод деления отрезка пополам, как и метод простого перебора, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию её производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

Далее мы рассмотрим более быстрые методы, в которых наличие производной будет играть существенную роль.

    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;