дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Собственные числа и собственные векторы

 Пример 19.8   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.         
        Пример 19.9   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве $ L$ задан базис, то линейному преобразованию $ \mathcal{A}$ соответствует матрица $ A$ . Пусть $ x$  -- собственный вектор преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ , $ {\alpha}$  -- координатный столбец вектора $ x$ . Тогда равенство $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ означает, что $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец $ {\alpha}$ называется собственным вектором квадратной матрицы $ A$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если выполнено равенство $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .         
        Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования $ n$ -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         
        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

        Доказательство.     Пусть $ A$ и $ B$  -- две подобные матрицы порядка $ n$ . Рассмотрим $ n$ -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и рассмотрим линейное преобразование $ \mathcal{A}$ , которое в этом базисе имеет матрицу $ A$ . По  следствию 19.1 $ B$ будет матрицей того же преобразования $ \mathcal{A}$ в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования $ \mathcal{A}$ будет совпадать со спектрами матриц $ A$ и $ B$ .     

 
       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;