дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Собственные числа и собственные векторы

        Определение 19.3   Ненулевой вектор $ x$ называется собственным вектором линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ .
Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования $ \mathcal{A}$ конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования $ \mathcal{A}$ .         

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если $ L$  -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае $ {{\lambda}=0}$ ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В  примере 19.2 при $ {\varphi}$ не кратном $ \pi$ преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

        Пример 19.7   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в вектор $ x'$ , симметричный исходному относительно прямой $ l$ (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор $ u$ , он соответствует собственному числу $ {{\lambda}=1}$ , и вектор $ z$ , который соответствует собственному числу $ {{\lambda}=-1}$ . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу $ -1$ .         
        Предложение 19.2   Пусть $ x$  -- собственный вектор линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ и пусть $ {\alpha}$  -- ненулевое число. Тогда $ {{\alpha}x}$  -- тоже собственный вектор линейного преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ .

        Доказательство.    

$\displaystyle \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x)={\alpha}{\lambda}x={\lambda}({\alpha}x).$

    

       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;