дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и $ {e_1',\ldots,\,e_n'}$  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть $ S$  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование пространства $ L$ , $ A$ и $ A'$  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
 
$\displaystyle A'=S^{-1}AS.$

        Доказательство.     Пусть $ x$  -- произвольный вектор пространства $ L$ , $ y$  -- его образ, то есть $ {y=\mathcal{A}(x)}$ . Пусть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$  -- координатные столбцы векторов $ x$ и $ y$ в старом базисе, а $ {\alpha}'$ , $ {\beta}'$  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) $ {{\beta}=A{\alpha}}$ . По  предложению 18.5 имеем $ {{\alpha}=S{\alpha}'}$ , $ {{\beta}=S{\beta}'}$ . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем $ {S{\beta}'=A(S{\alpha}')}$ . Откуда $ {{\beta}'=(S^{-1}AS){\alpha}'}$ . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе $ {{\beta}'=A'{\alpha}'}$ . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем $ {A'=S^{-1}AS}$ .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы $ P$ и $ Q$ одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица $ S$ , что $ {P=S^{-1}QS}$ .         
        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;