дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

Отделение корней

    Пример 9.2   Рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Для функции $ {f(x)=x^3+2x^2+3x+5}$ найдём производную $ f'(x)=3x^2+4x+3$. У этого квадратного трёхчлена отрицательный дискриминант: $ D=4^2-4\cdot3\cdot3=-20$, поэтому $ f'(x)$ сохраняет знак коэффициента при $ x^2$, то есть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$. Следовательно, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$ и может иметь не более одного корня. Вычислим значения $ f(x)$ в точках $ -2$ и $ -1$: $ f(-2)=-1;f(-1)=3$. Это значения разных знаков, поэтому корень существует и отделён на отрезке $ [-2;-1]$.     
        Пример 9.3   Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности. Решим неравенство $ f'(x)=3x^2-4>0$ и получим:
$\displaystyle x\in(-\infty;-\dfrac{2}{\sqrt{3}})\cup(\dfrac{2}{\sqrt{3}};+\infty).$
На этих двух интервалах функция возрастает. Ясно, что на интервале
$\displaystyle x\in(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}})$
функция убывает. Найдём значения функции в точках экстремума:
$\displaystyle f(-\dfrac{2}{\sqrt{3}})= 2+\dfrac{16}{3\sqrt{3}}>0; f(\dfrac{2}{\sqrt{3}})=2-\dfrac{16}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8(\sqrt{3}-2)}{3\sqrt{3}}<0. $
Значит, на отрезке убывания $ [-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}]$ отделён корень $ x^{**}$. Так как, очевидно, $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to-\infty$ и $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to+\infty$, то имеются ещё два корня: $ f(-3)=-13<0$ и $ f(3)=17>0$. Получили следующие отрезки, на которых отделены корни:
$\displaystyle x^*\in[-3;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}]; x^{***}\in[\dfrac{2}{\sqrt{3}};3].$
    

Далее мы будем предполагать, что функция $ f(x)$ меняет знак при переходе через корень $ x^*$. Это всегда так, если корень $ x^*$ простой, то есть если $ f'(x^*)\ne0$.

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;