дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 


Матрица линейного преобразования

В  примере 19.4 было показано, что преобразование $ n$ -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор $ x$ . Пусть $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ обозначим $ {\beta}$ .

Запишем разложение вектора $ x$ по базису пространства $ {x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ . Для образа этого вектора получим

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\mathcal{A}({\alpha}_1e_1+\ldots+{\alpha}_ne_n)= ... ..._1)+\ldots+{\alpha}_n\mathcal{A}(e_n)= \sum_{j=1}^n{\alpha}_j\mathcal{A}(e_j).$(19.2)
 


Векторы $ {\mathcal{A}(e_1),\,\mathcal{A}(e_2),\ldots,\,\mathcal{A}(e_n)}$ имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их $ \left(\begin{array}{c}a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c}a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{n2}\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{c}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{nn}\end{array}\right)$ соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

$\displaystyle \mathcal{A}(e_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}e_i,\quad j=1,\,2,\ldots,\,n.$

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя  предложение 14.3, изменим порядок суммирования

$\displaystyle \mathcal{A}(x)=\sum_{j=1}^n{\alpha}_j\left(\sum_{i=1}^na_{ij}e_i\... ..._{ij}{\alpha}_j)e_i= \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j\right)e_i.$

Это равенство означает, что $ i$ -той координатой вектора $ \mathcal{A}(x)$ служит $ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}{\alpha}_j}$ .

Составим матрицу $ A$ из координатных столбцов векторов $ {\mathcal{A}(e_1)}$ , ...,$ {\mathcal{A}(e_n)}$

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{2... ...dots&a_{2n}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{array}\right).$

Вычислим произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$

$\displaystyle A{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle\sum_{j=1}^na_{1j}{... ..._j}\\ \vdots\\ {\displaystyle\sum_{j=1}^na_{nj}{\alpha}_j}\end{array}\right).$

Мы видим, что $ i$ -ый элемент столбца совпадает с $ i$ -ой координатой вектора $ {\mathcal{A}(x)}$ . Поэтому

$\displaystyle {\beta}=A{\alpha}.$(19.3)
 


Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица $ A$ называется матрицей линейного преобразования $ \mathcal{A}$ . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;