дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство $ L$ и преобразование $ \mathcal{A}$ этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору $ x$ из $ L$ соответствует вектор $ x'$ из того же пространства. Вектор $ x'$ называется образом вектора $ x$ и обозначается $ {\mathcal{A}(x)}$ , а вектор $ x$ называется прообразом вектора $ x'$ .
        Определение 19.1   Преобразование $ \mathcal{A}$ линейного пространства $ L$ называется линейным, если для любых векторов $ x$ и $ y$ и любого числа $ {\alpha}$ выполнены равенства
$\displaystyle \mathcal{A}(x+y)=\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y),\quad \mathcal{A}({\alpha}x)={\alpha}\mathcal{A}(x),$(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         
        Замечание 19.1   В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.         

Линейное преобразование пространства $ L$ называют также линейным отображением из $ L$ в $ L$ или линейным оператором из $ L$ в $ L$ .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

$\displaystyle \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^k{\alpha}x_i\right)=\sum_{i=1}^k{\alpha}\mathcal{A}(x_i),$
то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;