дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

 

Радиус кривизны

        Определение 8.3   Радиусом кривизны кривой $ L$ в точке $ M\in L$ называется число $ r=\dfrac{1}{k}$, где $ k$ -- кривизна линии $ L$ в точке $ M$. Если кривизна в точке $ M$ равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным $ +\infty$.     

Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).

Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии $ L$ в фиксированной точке $ M(x_0;y_0)$, наиболее плотно прилегает к линии $ L$ та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке $ M$, и выпуклость в ту же сторону, что кривая $ L$. Эта окружность называется окружностью кривизны линии $ L$ в точке $ M$.

Рис.8.6.Окружности, касающиеся линии $ L$, и окружность кривизны

        Пример 8.7   Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$. Значит, окружность радиуса $ \frac{1}{2}$ с центром в точке $ C(0;\frac{1}{2})$ наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы.     

Рис.8.7.Окружность кривизны для параболы в вершине

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;