дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Аффинное $ n$ -мерное пространство

Если в обычном трехмерном пространстве выбрана система координат Oxyz , то каждая точка $ A$ этого пространства отождествлялась с тройкой чисел -- координатами вектора $ \overrightarrow {OA}$ . Аналогично мы можем считать, что набор из $ n$ чисел является точкой $ n$ -мерного пространства и рассматривать этот набор как координаты радиус-вектора этой точки. Такое $ n$ -мерное пространство в отличие от векторного называется аффинным $ n$ -мерным пространством. За начало координат принимается точка $ {(0,\,0,\ldots,\,0)}$ . За единичные векторы на осях координат в этом случае принимаются радиус-векторы точек

$\displaystyle (1,\,0,\ldots,\,0),\;(0,\,1,\ldots,\,0),\ldots,\,(0,\,0,\ldots,\,1).$

Любым двум точкам $ A$ и $ B$ аффинного пространства можно сопоставить вектор $ \overrightarrow {AB}$ из $ n$ -мерного линейного пространства. Для получения координат вектора $ \overrightarrow {AB}$ нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала.

        Пример 18.6   Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства. Тогда вектор $ \overrightarrow {AB}$ имеет координатный столбец $ {\left(\begin{array}{c}2-1\\ 0-2\\ -3-(-1)\\ 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -2\\ 1\end{array}\right)}$ .         

Параллельный перенос осей координат осуществляется по формулам, аналогичным  (13.21). Пусть точка $ O'$ , являющаяся началом новой системы координат, имеет координаты $ {(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ . Пусть $ M$  -- некоторая точка пространства с координатами $ {(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$ в старой системе координат и $ {(\tilde y_1,\,\tilde y_2,\ldots,\,\tilde y_n)}$ в новой системе координат. Тогда связь между старыми и новыми координатами задается формулами

$\displaystyle \tilde y_1=y_1-x_1,\;\tilde y_2=y_2-x_2,\ldots,\;\tilde y_n=y_n-x_n.$

В трехмерном пространстве уравнение $ {Ax+By+Cz=D}$ задает плоскость. Аналогично в $ n$ -мерном пространстве уравнение

$\displaystyle A_1x_1+A_2x_2+\ldots+A_nx_n=B,$

где $ {A_1,\,A_2,\dots,\,A_n,\,B}$  -- числа, задает плоскость размерности $ {n-1}$ , обычно ее называют гиперплоскостью. В трехмерном пространстве система из двух уравнений задает прямую. В $ n$ -мерном пространстве система
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\... ...\ \hdotsfor{1}\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{array}\right.$

из $ m$ уравнений, $ {m<n}$ , задает плоскость размерности $ {n-m }$ , если ранг матрицы системы равен $ m$ .

Если для векторов задано скалярное произведение формулой  (18.3), то в аффинном пространстве можно определять расстояние между точками. Пусть $ {A=(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_n)}$ , $ {B=(y_1,\,y_2,\ldots,\,y_n)}$  -- точки пространства, тогда расстояние между ними

$\displaystyle \vert AB\vert=\vert\overrightarrow {AB}\vert=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\ldots+(y_n-x_n)^2}.$

В соответствии с этим говорят, что уравнение

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=R^2$

задает в $ n$ -мерном вещественном пространстве $ (n-1)$ -мерную сферу, а неравенство

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leqslant R^2$

задает $ n$ -мерный шар радиуса $ R$ с центром в начале координат. В аффинном $ n$ -мерном пространстве можно рассматривать поверхности второго порядка. Их типов оказывается тоже конечное число.

Можно рассматривать множество точек, задаваемых уравнением $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0}$ . При некоторых ограничениях на функцию $ F$ , это уравнение будет определять $ (n-1)$ -мерную поверхность (гиперповерхность), а неравенство $ {F(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leqslant 0}$  -- область в $ n$ -мерном аффинном пространстве.

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;