дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

Вершины кривых

  Пример 8.5   Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$). Поскольку $ y'=-\dfrac{a}{x^2}$ и $ y''=\dfrac{2a}{x^3}$, имеем
$\displaystyle k(x)= \left\vert\dfrac{\dfrac{2a}{x^3}}{\left(1+\dfrac{a^2}{x^4}... ...\frac{3}{2}}} \right\vert= \dfrac{2a\vert x\vert^3}{(x^4+a^2)^{\frac{3}{2}}}.$
    
        Пример 8.6   Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии $ y=x$.
Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при $ x>0$ (вторая половина -- симметрична рассматриваемой). Поскольку $ z=t^{\frac{2}{3}}$ -- возрастающая при $ t\geqslant 0$ функция, точки экстремума функций $ k(x)$ и
$\displaystyle f(x)=(k(x))^{\frac{2}{3}}=(2a)^{\frac{2}{3}}\dfrac{x^2}{x^4+a^2}$
совпадают. Ввиду того, что функция $ t=x^2$ также возрастает при $ x\geqslant 0$, достаточно сделать замену $ x^2=t$ и перейти к нахождению экстремума функции
$\displaystyle g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2},$
график которой при $ t\geqslant 0$ имеет такой вид:
Рис.8.3.График функции $ g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2}$

Точка максимума $ t_0$ ищется из условия $ g'(t_0)=0$; легко подсчитать, что
$\displaystyle g'(t)=\dfrac{a^2-t^2}{(t^2+a^2)^2},$
откуда $ t_0=a$ и $ x_0=\sqrt{a}$ -- абсцисса вершины гиперболы как кривой $ y=\dfrac{a}{x}$.
С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой $ y=x$ находим из уравнения
$\displaystyle \dfrac{a}{x}=x,$
откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу $ x_0=\sqrt{a}$.
Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна
$\displaystyle k_{\max}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.$
    

Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины

        Упражнение 8.2   Эллипс -- это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат $ xOy$ на плоскости задаётся уравнением
$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$
где $ a$ и $ b$ -- положительные числа и $ a\ne b$.
Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других -- наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости $ y(x)$ и $ x(y)$.
Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины

Найдите значение кривизны в вершинах эллипса.     

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;