дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности Аналитическая геометрия

Вершины кривых

По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

        Определение 8.2   Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.     

В соответствии с этим определением вершина параболы $ y=x^2$ является вершиной линии $ y=x^2$ в новом, обобщённом, смысле.

        Пример 8.2   Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$. Её верхняя половина (при $ {y\geqslant 0}$) -- это график функции $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке $ [-R;R]$. Возьмём точку $ {x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом $ x$. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}} {\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}= \dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности23.     

        Пример 8.3   Рассмотрим прямую $ y=kx+b$. Поскольку $ y''=0$, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.     

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой $ y=f(x)$, то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $ k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при $ f''(x)=0$, в частности, во всех точках перегиба функции $ f(x)$ (тех, где вторая производная существует).

        Пример 8.4   Рассмотрим параболу четвёртой степени $ y=x^4$. Поскольку вторая производная $ y''=12x^2$ обращается в 0 при $ x=0$, то точка $ O(0;0)$ служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0.     

Рис.8.2.Парабола $ y=x^4$ имеет три вершины


        Упражнение 8.1   Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение.

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;