дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Евклидово пространство

 Пример 18.5   Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2 \end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.
Решение. Находим скалярное произведение
$\displaystyle (a,b)=1\cdot2+2\cdot(-2)+(-1)(-4)+(-2)\cdot1=0.$
Следовательно, векторы ортогональны.         

Так как базисные векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ имеют координатные столбцы $ \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{array}\right)$ , ..., $ \left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right)$ , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе $ {\vert e_1\vert=\vert e_2\vert=\ldots=\vert e_n\vert=1}$ , а $ {(e_i,e_j)=0}$ при $ {i\ne j}$ , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если $ L$  -- комплексное линейное $ n$ -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1\ovl{{\beta}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\beta}}_2+\ldots+{\alpha}_n\ovl{{\beta}}_n,$

где черта над $ {{\beta}_1,\,{\beta}_2,\ldots,\,{\beta}_n}$ означает комплексное сопряжение.

        Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.         

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1\ovl{{\alpha}}_1+{\alpha}_2\ovl{{\al... ...t{\vert{\alpha}_1\vert^2+\vert{\alpha}_2\vert^2+\ldots+\vert{\alpha}_n\vert^2}.$

 

 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;