дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры Векторная алгебра

 

Координаты векторов

        Определение 18.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис. Тогда произвольный вектор $ a$ из $ L$ представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n.$
Числа $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ называются координатами вектора $ a$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ из координат вектора называется координатным столбцом вектора $ a$ .         
        Предложение 18.3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

        Доказательство.     Предположим противное. Пусть $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис, в котором у вектора $ a$ есть два различных набора координат:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad a={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Тогда

$\displaystyle a-a=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)-({\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+ {\beta}_ne_n),$

то есть

$\displaystyle 0=({\alpha}_1-{\beta}_1)e_1+({\alpha}_2-{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n-{\beta}_n)e_n.$

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.     

        Предложение 18.4   Пусть в $ n$ -мерном пространстве $ L$ задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

        Доказательство.     Пусть векторы $ a$ и $ b$ имеют координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ и $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$ соответственно. Отсюда следует, что

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Поэтому

\begin{multline*} a+b=({\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n)+({\bet... ...e_1+({\alpha}_2+{\beta}_2)e_2+\ldots+({\alpha}_n+{\beta}_n)e_n. \end{multline*}

Это равенство означает, что координатный столбец вектора $ a+b$ имеет вид $ \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1+{\beta}_1\\ {\alpha}_2+{\beta}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n+{\beta}_n\end{array}\right)$ . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.     

Из последнего предложения следует, что как только в $ n$ -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое $ n$ -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства $ \mathbb{R}^n$ в вещественном случае, а в комплексном -- копией $ \mathbb{C}^n$ .


Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;