дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия

Упражнения и задачи

 
  Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$
и определите наличие в них локального экстремума.
Подсказка:
Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.
Решение:
Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.
Ответ:
Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.     
        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:
а) $ f(x)=x^3-4x+2$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;
в) $ f(x)=x^3\ln x$.
Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;
б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;
в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     
        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции
$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$
Подсказка:
Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.
Решение:
Найдём вторую производную:
$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$
Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.
В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.
Ответ:
Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     
        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:
а) $ f(x)=x^6-3x^4$;
б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.
Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.
б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.
в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     
        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):
а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;
б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;
в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.
Ответы: а) Функция нечётная;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$
вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$

б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$
Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$

в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;