дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Упражнения и задачи

  Упражнение 7.6   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: а) $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$;
в) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$
Ответы: а) $ y=-x+1$ при $ x\to\pm\infty$; б) $ y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $ x\to\pm\infty$; в) $ y=-1$ при $ x\to-\infty$ и $ y=1$ при $ x\to+\infty$.     
        Упражнение 7.7   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $ {f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке $ [-1;4]$.
Подсказка:
Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.
Решение:
Поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ положителен при всех $ x$, функция непрерывна на всей оси $ Ox$. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$
Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке $ x=0$; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке $ [-1;4]$.
Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:
$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75; f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$
Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:
Ответ:
$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65; f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$
    
        Упражнение 7.8   Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:
а) $ f(x)=x^4-4x^3+4x^2-5$ на отрезке $ [-1;3]$;
б) $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке $ [1;e]$;
в) $ f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $ [-\pi;\pi]$.
Ответы: а) $ f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$;
б) $ f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$;
в) $ f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}; f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$.     
        Упражнение 7.9   Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции $ f(x)=x^3-6x^2+5$.
Подсказка:
Найдите производную и решите неравенства $ f'(x)>0$ и $ f'(x)<0$.
Решение:
Производная равна $ f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$. Неравенство $ 3x(x-4)>0$ имеет решение $ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$; на этих двух интервалах $ f(x)$ возрастает. Неравенство $ 3x(x-4)<0$ имеет решение $ x\in(0;4)$; на этом интервале $ f(x)$ убывает. Следовательно, точка $ x=0$ -- точка локального максимума, а точка $ x=4$ -- точка локального минимума.
Ответ:
Интервалы возрастания: $ (-\infty;0)$ и $ (4;+\infty)$; интервал убывания: $ (0;4)$; точка локального максимума: $ x=0$, точка локального минимума: $ x=4$.     
        Упражнение 7.10   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:
а) $ f(x)=x^4-8x^2+1$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$;
в) $ f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$.
Ответы: а) интервалы возрастания: $ (-2;0)$ и $ (2;+\infty)$; интервалы убывания: $ (-\infty;-2)$ и $ (0;2)$; точка локального максимума $ x=0$; точки локального минимума $ x=\pm2$;
б) интервалы возрастания: $ (-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $ (-2+\sqrt{5};+\infty)$; интервалы убывания: $ {(-2-\sqrt{5};-2)}$ и $ {(-2;-2+\sqrt{5})}$; точка локального максимума $ x=-2-\sqrt{5}$; точка локального минимума $ x=-2+\sqrt{5}$;
в) интервал возрастания: $ (1;+\infty)$; интервалы убывания: $ (0;\frac{1}{e})$ и $ (\frac{1}{e};1)$; точка локального минимума $ x=1$; точек локального максимума нет.     
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;