дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Упражнения и задачи

        Упражнение 7.3   Найдите область определения и вертикальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-1}{x(x+1)(x-2)}.$
Подсказка:
Рассмотрите точки $ x$, в которых знаменатель обращается в 0. Внимание: в одной из этих точек вертикальной асимптоты нет, так как функция имеет устранимый разрыв.
Решение:
Область определения составляют все точки оси $ Ox$, кроме 0, $ -1$ и 2:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$
Заметим теперь, что при $ x=-1$ числитель также обращается в 0:
$\displaystyle (-1)^3+2(-1)^2-1=-1+2-1=0.$
Значит, многочлен, стоящий в числителе, делится нацело на $ x-(-1)=x+1$. Деление столбиком даёт:
$\displaystyle x^3+2x^2-1=(x+1)(x^2+x-1).$
Значит, при $ x\ne-1$ дробь $ f(x)$ можно сократить на $ x+1$:
$\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+1)(x^2+x-1)}{x(x+1)(x-2)}= \dfrac{x^2+x-1}{x(x-2)},$
откуда видно, что при $ x\to-1$ функция стремится к $ \dfrac{(-1)^2+(-1)-1}{(-1)(-1-2)}=-\dfrac{1}{3},$ а не к $ \infty$.
При $ x$, равном двум другим корням знаменателя, 0 и 2, числитель в 0 не обращается, а равен $ -1$ и $ 15$ соответственно. Значит, при $ x\to0$ и при $ x\to2$ $ f(x)\to\infty$, и прямые $ x=0$ и $ x=2$ -- вертикальные асимптоты.
Ответ:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)= \mathbb{R}\diagdown \{-1;0;2\}=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty);$
вертикальные асимптоты: $ x=0$ и $ x=2$.     
        Упражнение 7.4   Найдите вертикальные асимптоты графиков функций:
а) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1};$
б) $ f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^4-1}$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^3-1}$.
Ответы: а) $ x=0$; б) $ x=1$; в) вертикальных асимптот нет.     
        Упражнение 7.5   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графика функции
$\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Подсказка:
Воспользуйтесь общими формулами для $ k$ и $ b$ в уравнении асимптоты $ y=kx+b$. Пределы при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ здесь можно искать заодно.
Решение:
Найдём $ k$ и $ b$:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{x(x+3)}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{3-0+0}{1+0}=3;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}-3x]= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(3x^2-2x+1)-3x(x+3)}{x+3}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11x+1}{x+3}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-11+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-11.$   
 

Итак, прямая $ y=3x-11$ служит наклонной асимптотой графика $ y=\dfrac{3x^2-2x+1}{x+3}.$
Ответ: наклонная асимптота при $ x\to\pm\infty$ имеет уравнение $ y=3x-11$.     
      

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;