дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики задачи Аналитическая геометрия


Второй способ задания функции: с помощью формулы

   Пример 1.15   Пусть $ y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $ f(n)=n^2$ при любом $ n\in\mathbb{N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $ f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $ f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $ f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.     

        Упражнение 1.1   Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения $ f_1,f_2,f_3$, но при всех прочих $ n$ ( $ n=4,5,6,\dots$) дающую значения, не равные $ n^2$.

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде $ f(n)=an^3+bn+c$, подобрав коэффициенты $ a,b,c$ так, чтобы формула была верна при $ n=1,2,3$. Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ a,b,c$, рещив которую, вы найдёте, что $ f(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{11}{6}n-1$.     

В некоторых случаях члены последовательности, то есть значения $ f_n=f(n)$ для $ n\in\mathbb{N}$, удобно не задавать при помощи указания явной зависимости $ f(n)$, а вычислять рекуррентно, то есть вычислять каждый последующий член по значениям нескольких предыдущих:

$\displaystyle f(n)=F(f(n-1),f(n-2),\dots).$

        Пример 1.16   Последовательность чисел Фибоначчи $ f_n$ задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( $ f_1=1,f_2=1$), а при $ n\geqslant 3$ вычисляют $ f_n$ по формуле $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $ f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8$ и т. д. 

        Упражнение 1.2   Подберите коэффициенты $ a$ и $ b$ в формуле

$\displaystyle f_n=a\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n+ b\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$(1.3)

так, чтобы при $ n=1$ и $ n=2$ число $ f_n$ было числом Фибоначчи. Докажите, что тогда формула (1.3) даёт значение $ f_n$, равное числу Фибоначчи и при всех $ n\geqslant 3$.

Пусть $ {\alpha}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (это один из корней уравнения $ x^2-x-1=0$, служащего характеристическим уравнением возвратной последовательности $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$). Покажите, что

$\displaystyle f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n-(-{\alpha})^{-n})$

при всех $ n\in\mathbb{N}$ (формула Бине); выведите из этой формулы, что $ f_n$ -- это ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{5}}{\alpha}^n$ целое число.    

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;