дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Примеры исследования функций и построения графиков

    Пример 7.42   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.

1). Ясно, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, поскольку оба сомножителя в выражении $ f(x)$ определены при любом $ x$. Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.

3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

4). Будем искать наклонные асимптоты в виде $ y=kx+b$. Коэффициент $ k$ найдём по формуле $ k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$: при $ x\to+\infty$ имеем

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(x-2)e^x=+\infty,$

так что при $ x\to+\infty$ асимптоты нет, причём функция $ f(x)$ стремится к $ +\infty$ при $ {x\to+\infty}$.

При $ x\to-\infty$ имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

(для раскрытия неопределённости вида $ [\frac{\infty}{\infty}]$ мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение $ b$ по формуле $ b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]$. Имеем:

$\displaystyle b=\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-0x]= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x... ...\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x-2}{-e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{e^{-x}}=0$

(здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, $ k=0$ и $ b=0$, так что при $ x\to-\infty$ асимптота имеет уравнение $ y=0$, то есть совпадает с осью $ Ox$.

5). Точка пересечения с осью $ Oy$ равна $ f(0)=0$. Заодно нашли одну точку пересечения с осью $ Ox$. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $ Ox$, решаем уравнение $ (x^2-2x)e^x=0$. Поскольку $ e^x\ne0$, решаем уравнение $ x^2-2x=x(x-2)=0$, откуда получаем два корня: $ x=0$ и $ x=2$. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: $ (-\infty;0)$, $ (0;2)$ и $ (2;+\infty)$. Знак функции определяется множителем $ x^2-2x$, поскольку $ e^x>0$ при всех $ x$. Значит, $ f(x)>0$ при $ x\in(-\infty;0)$ и при $ x\in(2;+\infty)$ и $ f(x)<0$ при $ x\in(0;2)$.

6). Вычислим производную:

$\displaystyle f'(x)=(x^2-2x)e^x+(2x-2)e^x=(x^2-2)e^x.$

Интервалы возрастания задаются неравенством $ f'(x)>0$, то есть, с учётом того, что $ e^x>0$, неравенством $ x^2-2>0$. Решением этого неравенства служит множество $ (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$ На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале $ (-\sqrt{2};\sqrt{2})$ выполняется неравенство $ f'(x)<0$, следовательно, это интервал убывания функции. В точке $ -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, значит, точка $ -\sqrt{2}$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle f_{\max}=f(-\sqrt{2})=(2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}\approx1.17.$

В точке $ \sqrt{2}$ убывание сменяется возрастанием, значит, точка $ \sqrt{2}$ -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

$\displaystyle f_{\min}=f(\sqrt{2})=(2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}\approx-3.41.$

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.7.50.Эскиз графика функции $ f(x)$
 

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;