дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Примеры исследования функций и построения графиков

     Пример 7.40   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех $ x$, область определения функции -- вся ось $ Ox$.
2). Функция $ f(x)$ -- нечётная, поскольку при смене знака $ x$ числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда $ f(-x)=-f(x)$. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
4). Найдём наклонные асимптоты при $ x\to\pm\infty$ в виде $ y=kx+b$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]= \lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{x^3... ...}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1+0}=0.$
Таким образом, асимптотой как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$ служит прямая $ y=1x+0=x$.
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: $ f(0)=0$, причём $ x=0$ -- единственное решение уравнения $ f(x)=0$. Значит, график $ y=f(x)$ пересекает сразу и ось $ Ox$, и ось $ Oy$ в начале координат.
Очевидно, что $ f(x)>0$ при $ x>0$ и $ f(x)<0$ при $ x<0$.
6). Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}= \dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}= \dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.$
Очевидно, что $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; единственная точка, в которой $ f'(x)=0$ -- это $ x=0$. Значит, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$, а в стационарной точке $ x=0$ имеет горизонтальную касательную.
7). Найдём вторую производную:
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}= \dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.$
Знаменатель этой дроби положителен при всех $ x$. Числитель имеет корни $ x=0$ и $ x=\pm\sqrt{3}$, при этом $ f''(x)>0$ на интервалах $ (-\infty;-\sqrt{3})$ и $ (0;\sqrt{3})$ -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах $ (-\sqrt{3};0)$ и $ (\sqrt{3};+\infty)$ выполняется обратное неравенство $ f''(x)<0$, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых $ f''(x)=0$, то есть точки $ -\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$, являются точками перегиба.
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
Рис.7.47.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$

    
     

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;