дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия

 

Выпуклость функции

 
 Теорема 7.13   Пусть функция $ f(x)$ имеет на интервале $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда график $ y=f(x)$ лежит (при $ x\in(a;b)$) не ниже любой касательной $ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, проведённой при любом $ x_0\in(a;b)$, то есть выполняется неравенство
$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:
$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)= (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$
где $ c$ лежит между $ x$ и $ x_0$. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при $ x-x_0>0$ и $ f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при $ x-x_0<0$. В любом случае получаем, что произведение $ (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)$ неотрицательно, откуда $ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.     
        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:
дифференцируемая функция вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:
$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной

        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ f(x)$ называется такая точка $ x_0$, которая разделяет два интервала $ (a;x_0)$ и $ (x_0;b)$, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости

В случае, если вторая производная $ f''(x)$ непрерывна, в точке перегиба $ x_0$ непременно должно выполняться равенство $ f''(x_0)=0$, поскольку, согласно теореме 7.11, $ f''(x)$ должна менять знак при переходе через точку $ x_0$. Верно даже несколько более сильное утверждение:
        Теорема 7.14   Пусть $ x_0$ -- точка перегиба функции $ f(x)$, причём существует $ f''(x_0)$. Тогда $ f''(x_0)=0$.
        Доказательство.     Из существования $ f''(x_0)$ следует, что $ f'(x)$ существует при $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, окружающего точку $ x_0$. По предположению, при достаточно малом $ {\delta}>0$, на интервалах $ (x_0-{\delta};x_0)$ и $ (x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ f(x)$ выпукла на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $ (x_0;x_0+{\delta})$. Тогда функция $ f'(x)$ не убывает на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $ (x_0;x_0+{\delta})$, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны $ f''(x_0)$, получаем, что одновременно $ f''(x_0)\geqslant 0$ и $ f''(x_0)\leqslant 0$. Значит, $ f''(x_0)=0$, что и требовалось доказать.     
Заметим однако, что не любая точка $ x_0$, такая что $ f''(x_0)=0$, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $ f''(x)$ может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ x_0$ нет.
       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы ;