Аналитическая геометрия Функции графики примеры Аналитическая геометрия


Выпуклость функции

  Пример 7.31   Рассмотрим функцию примера 7.24: $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; вторая производная $ f''(x)=12x^2-4$. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство $ f''(x)\geqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\geqslant 0$. Решением является объединение лучей: $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$. Значит, на интервалах $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ и $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$ функция $ f(x)$ выпукла.
Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство $ f''(x)\leqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\leqslant 0$. Решением является отрезок $ [-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}]$. Значит, на интервале $ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ функция $ f(x)$ вогнута.     

Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции $ f(x)=x^4-2x^2$

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
        Теорема 7.12   Пусть $ f(x)$ -- выпуклая на $ (a;b)$ функция и $ x_0\in(a;b)$ -- точка локального минимума функции $ f$. Тогда $ \min\limits_{x\in(a;b)}f(x)=f(x_0).$
        Замечание 7.10   Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in(a;b)}f(x).$     
        Доказательство теоремы.     Пусть $ x_0$ и $ x_1$ -- две различные точки локального минимума функции $ f(x)$, причём $ x_0<x_1$ и $ f(x_0)>f(x_1)$ (случай $ f(x_0)<f(x_1)$ разбирается аналогично). Положим $ x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0$ и рассмотрим линейную функцию $ \ell(x)$, на графике которой лежит хорда, соединяющая точки $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$. Так как функция $ f(x)$ выпукла, то $ f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})$ при всех $ {\alpha}\in[0;1]$, то есть при всех $ x_{{\alpha}}\in[x_0;x_1]$. Это неравенство верно, в том числе, и при любом $ x=x_{{\alpha}}$ из некоторой правой окрестности точки $ x_0$, то есть при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})\sbs[x_0;x_1]$, $ 0<{\delta}\leqslant x_1-x_0$. Тем самым получаем для таких $ x$:
$\displaystyle f(x)\leqslant \ell(x)<f(x_0)=\ell(x_0).$
Однако это противоречит тому, что $ x_0$ -- точка локального минимума (из того, что $ x_0$ -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом $ {\delta}>0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$ имеет место неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$).
Значит, предположение о том, что $ f(x_0)>f(x_1)$, не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что $ f(x_0)<f(x_1)$. Следовательно, $ f(x_0)=f(x_1)$, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция $ f(x)$ принимает одно и то же значение.     
Тем самым, если о функции $ f(x)$ известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума $ x_0$, то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: $ f_{\min}=f(x_0)$. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.
        Замечание 7.11   Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:
если $ f$ -- вогнутая функция на интервале $ (a;b)$ и $ x_0,x_1\in(a;b)$ -- точки локального максимума, то
$\displaystyle f(x_0)=f(x_1)=\max_{x\in(a;b)}f(x)=f_{\max}.$
Для доказательства достаточно вспомнить, что $ g=-f$ -- выпуклая функция и что $ \min(-f)=-\max f$.     
        Замечание 7.12   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие $ f''(x_0)>0$ достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке $ x_0$ функции $ f$. Действительно, из условия $ f''(x)>0$ следует, что функция $ f(x)$ выпукла, то есть её график $ y=f(x)$ "провисает вниз" в окрестности точки $ x_0$, в которой график имеет горизонтальную касательную.
Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума

Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство $ f''(x_0)<0$ даёт достаточное условие локального максимума.
Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума

    
Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции $ f(x)$ с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.
       

Главы учебника "Курс лекций высшей математики"

 

Аналитическая геометрия плоскости и поверхности Курс лекций Векторная алгебра. Электронные учебники - MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции первого семестра первого курса Дифференциальное исчисление функции Дифференциальные уравнения первого порядка Теория вероятностей. Основные понятия Математический анализ Двойной интеграл Геометрический смысл производной Числовые ряды Степенные ряды Аналитическая геометрия Функции графики задачи Курс лекций Примеры задачи Интегрирование и дифференцирование матрицы выбирая погрузчик грузоподъемностью до 16 тонн